定理

定理（英语：Theorem）是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。一个定理陈述一个给定类的所有（全称）元素一种不变的关系，这些元素可以是无穷多，它们在任何时刻都无区别地成立，而没有一个例外。（例如：某些 a {displaystyle a} 是 x {displaystyle x} ，某些 a {displaystyle a} 是 y {displaystyle y} ，就不能算是定理）。猜想是相信为真但未被证明的数学叙述，或者叫做命题，当它经过证明后便是定理。猜想是定理的来源，但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述可以不经过成为猜想的过程，成为定理。如上所述，定理需要某些逻辑框架，继而形成一套公理（公理系统）。同时，一个推理的过程，容许从公理中引出新定理和其他之前发现的定理。在命题逻辑，所有已证明的叙述都称为定理。定理一般都有许多条件。然后有结论——一个在条件下成立的数学叙述。通常写作“若条件，则结论”。用符号逻辑来写就是条件→结论。而当中的证明不视为定理的成分。若存在某叙述为 A → B {displaystyle Arightarrow B} ，其逆叙述就是 B → A {displaystyle Brightarrow A} 。逆叙述成立的情况是 A ↔ B {displaystyle Aleftrightarrow B} ，否则通常都是倒果为因，不合常理。若果叙述是定理，其成立的逆叙述就是逆定理。逻辑语言中的定理表示的是一个公式集合，并且该公式集合中的每一个公式都代表着知识的一个片段，由此我们可以给定理一个更准确的表达（这里所说的定理指的是在一阶逻辑中的定理，通常来说任意一个命题集合往往不一定是定理）。定理在逻辑中的定义︰这个定理（或这个命题集合）我们记作 T {displaystyle T} ，这些建立于语言集合 L {displaystyle L} 上的命题必须符合如下属性：比如一个永真命题集合是一个定理，这个永真命题集合被包含在所有建立在语言集合 L {displaystyle L} 上的定理中。此外，我们说一个定理是另外一个定理 T {displaystyle T} 的扩展（extension），前提是该定理包含定理 T {displaystyle T} 。有一个命题集合 A {displaystyle A} ，我们将一个包含 A {displaystyle A} 的集合记作 Th ( A ) {displaystyle {mbox{Th}}(A)} ，那么 Th ( A ) = {   φ     |     A ⊨ φ   } {displaystyle {mbox{Th}}(A)={ varphi | AvDash varphi }} 。显而易见 A ⊨ Th ( A ) {displaystyle AvDash {mbox{Th}}(A)} ，所以 Th ( A ) {displaystyle {mbox{Th}}(A)} 是一个定理。比如我们有一个集合 G {displaystyle G} ， G {displaystyle G} 有三个基于语言 L {displaystyle L} 上的命题，其中 L = { e , f } {displaystyle L={e,f}} ， e {displaystyle e} 是常数符号， f {displaystyle f} 是函数符号。三个命题如下：那么如果有 Th ( G ) = {   φ     |     G ⊨ φ   } {displaystyle {mbox{Th}}(G)={ varphi | GvDash varphi }} ，则 Th ( G ) {displaystyle {mbox{Th}}(G)} 是 G {displaystyle G} 的定理。当然，如果 A {displaystyle A} 和 B {displaystyle B} 是两个命题集合且满足 A ⊆ B {displaystyle Asubseteq B} ，那么 Th ( A ) ⊆ Th ( B ) {displaystyle {mbox{Th}}(A)subseteq {mbox{Th}}(B)} 。我们说一个定理 T {displaystyle T} 是完整的（Complete），当且仅当对于和 T {displaystyle T} 一样构建在同样语言集合上的所有命题 φ {displaystyle varphi } ，要么 φ ∈ T {displaystyle varphi in T} ，要么 ¬ φ ∈ T {displaystyle lnot varphi in T} 。不是所有的定理是完整的。比如 Th ( Φ ) {displaystyle {mbox{Th}}(Phi )} 一个空集合 { Φ } {displaystyle {Phi }} 的定理是所有真命题集合，但是 Th ( Φ ) {displaystyle {mbox{Th}}(Phi )} 不是完整的。假如有命题 Ψ = ∃ x ∃ y ( x ≠ y ) {displaystyle Psi =exists xexists y(xneq y)} ，对于 Ψ {displaystyle Psi } 来说，它既不是永真命题，也不是永假命题，它是一个可满足式的命题，也就是说 Th ( Φ ) ⊭ Ψ {displaystyle {mbox{Th}}(Phi )nvDash Psi } 且 Th ( Φ ) ⊭ ¬ Ψ {displaystyle {mbox{Th}}(Phi )nvDash lnot Psi } 。因此 Ψ ∉ Th ( Φ ) {displaystyle Psi notin {mbox{Th}}(Phi )} ，所以我们说 Th ( Φ ) {displaystyle {mbox{Th}}(Phi )} 不是完整的。 一个定理 T {displaystyle T} 称作是稳健的（Consistante），当且仅当 ∀ φ ∈ T ,   ¬ φ ∉ T {displaystyle forall varphi in T, lnot varphi notin T} 。我们说对所有的解释（Interpretation） I {displaystyle I} ， Th ( I ) {displaystyle {mbox{Th}}(I)} 是一个定理，并且 Th ( I ) {displaystyle {mbox{Th}}(I)} 既是稳健的又是完整的。