克拉莫-克若尼关系式

克喇末-克勒尼希关系式（英语：Kramers–Kronig relations）是数学上连系复面上半可析函数实数部和虚数部的公式。此关系式常用于物理系统的线性反应函数。物理上因果关系（系统反应必须在施力之后）意味着反应函数必须符合复面上半的可析性。反之，反应函数的可析性意味着相应物理系统的因果性。此关系式以拉尔夫·克勒尼希和汉斯·克喇末为名。给定一复数变数 ω {displaystyle omega } 的复值函数 χ ( ω ) = χ 1 ( ω ) + i χ 2 ( ω ) {displaystyle {chi (omega )}=chi _{1}(omega )+ichi _{2}(omega )} ，其中 χ 1 {displaystyle chi _{1}} 和 χ 2 {displaystyle chi _{2}} 是实值函数。假设此函数 χ ( ω ) {displaystyle chi (omega )} 在复数平面上半部可析，且当 | ω | {displaystyle |omega |} 趋向无限大时，它在上半平面趋于零的速度比 1 / | ω | {displaystyle 1/|omega |} 快或与之相等，那么 χ ( ω ) {displaystyle chi (omega )} 满足以下关系：和其中 P {displaystyle {mathcal {P}}} 表示柯西主值。因此可析函数的实部和虚部并不独立：函数的一部分可以重建整个函数。推导克喇末-克勒尼希关系式是留数定理的基本应用。对任何复面上半可析函数 χ ( ω ′ ) {displaystyle chi (omega ^{prime })} 和实数 ω {displaystyle omega } 函数 χ ( ω ′ ) ω ′ − ω {displaystyle {frac {chi (omega ^{prime })}{omega ^{prime }-omega }}} 在复面上半可析。留数定理得到对任何在复面上半的积分路径：选用实轴上的路径、跳过任何实轴上极点、再以复面上半圆完成。把积分分解成三部分。其中半圆部分长度和 | ω | {displaystyle |omega |} 成正比，因此只要 χ ( ω ′ ) {displaystyle chi (omega ^{prime })} 消失比 1 / ω ′ {displaystyle {1}/{omega ^{prime }}} 快，对半圆部分积分趋向零。因此积分只剩实轴上直线部和跳过极点的小半圆：以上第二项留数定理的结果。重组后得到克喇末-克勒尼希关系式：分母里的虚数 i {displaystyle i} 意味者这是连系实部和虚部的公式。把 χ ( ω ) {displaystyle chi (omega )} 分解成实部和虚部可轻易得到更早的公式。可以将Kramers-Kronig关系应用于响应函数理论。物理上，响应函数 χ ( t − t ′ ) {displaystyle chi (t-t^{prime })} 概括系统对在时间 t ′ {displaystyle t^{prime }} 的作用力 F ( t ′ ) {displaystyle F(t^{prime })} 在另一时间 t {displaystyle t} 的反应 P ( t ) {displaystyle P(t)} ：因为系统不能在施力前有任何反应因此当 t ′ > t {displaystyle t^{prime }>t} ， χ ( t − t ′ ) = 0 {displaystyle chi (t-t^{prime })=0} 。 可以证明这因果关系意味着 χ ( τ ) {displaystyle chi (tau )} 的傅立叶变换 χ ( ω ) {displaystyle chi (omega )} 在 ω {displaystyle omega } 复面上半可析。另外如果我们施加系统一个远高于它最高共振频率的高频作用力，此时作用力转换太快而系统不能即时做出反应，因此 ω {displaystyle omega } 很大时， χ ( ω ) {displaystyle chi (omega )} 会趋近于0。从这些物理考量，可知物理反应函数 χ ( ω ) {displaystyle chi (omega )} 通常符合克喇末-克勒尼希关系式的前提条件。反应函数 χ ( ω ) {displaystyle chi (omega )} 的虚部和作用力异相。它概括系统如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希关系，我们可以透过观察系统能量消耗而得到它对作用力的同相（不做功）反应，反之亦然。上述函数的积分路径是从 − ∞ {displaystyle -infty } 到 ∞ {displaystyle infty } ，其中出现了负频率。幸运的是，多数系统中，正频响应决定了负频响应，这是因为 χ ( ω ) {displaystyle chi (omega )} 是实数变量 χ ( t − t ′ ) {displaystyle chi (t-t')} 的傅里叶变换，根据对实数进行傅里叶变换的性质， χ ( − ω ) = χ ∗ ( ω ) {displaystyle chi (-omega )=chi ^{*}(omega )} ， χ 1 ( ω ) {displaystyle chi _{1}(omega )} 是频率 ω {displaystyle omega } 的偶函数，而 χ 2 ( ω ) {displaystyle chi _{2}(omega )} 是 ω {displaystyle omega } 的奇函数。根据该性质，积分可以从正负无穷区间约化为 [ 0 , ∞ ) {displaystyle [0,infty )} 的区间上。考虑实部 χ 1 ( ω ) {displaystyle chi _{1}(omega )} 的第一个关系，积分函数上下同乘 ω ′ + ω {displaystyle omega '+omega } 可得：由于 χ 2 ( ω ) {displaystyle chi _{2}(omega )} 为奇函数，第二项为零，剩下的部分为类似的推导亦可用于虚部：该 Kramers-Kronig 关系在物理响应函数上的很有用处。