拉马努金theta函数

拉马努金theta函数是一个由英国数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金定义的双变量复变theta函数，推广了雅可比theta函数，被广泛地运用在q-函数和级数的理论中。

拉马努金theta函数被定义为

对于所有的${\displaystyle \mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a=-<!--\; -\; -->1}$，拉马努金theta函数取到简单零点。拉马努金theta函数也可以用q-珀赫哈默尔符号定义，如

这说明与其他theta函数类似，拉马努金theta函数也与q-模拟存在紧密联系。它有一个积分表示，${\displaystyle f(a,b)=1+{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{2a\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->t^2/2)}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}dt+{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{2b\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->t^2/2)}{\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}dt}$

单变量的拉马努金theta函数被定义成

此外，拉马努金phi函数，拉马努金psi函数和拉马努金chi函数也是拉马努金theta函数的特殊单变量情形。它们之间的关系可以被解释为：

而它就是第三雅可比theta函数的特例${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(q)={\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}_3(q)}$，它的级数表达是OEIS中的数列A000122。

它的级数表达是OEIS中的数列A010054。

它的级数表达是OEIS中的数列A000700。