拉马努金theta函数

✍ dations ◷ 2025-07-11 16:15:57 #Θ函数,椭圆函数,模形式

拉马努金theta函数是一个由英国数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金定义的双变量复变theta函数,推广了雅可比theta函数,被广泛地运用在q-函数和级数的理论中。

拉马努金theta函数被定义为

对于所有的 a = 1 {\displaystyle \forall a=-1} ,拉马努金theta函数取到简单零点。拉马努金theta函数也可以用q-珀赫哈默尔符号定义,如

这说明与其他theta函数类似,拉马努金theta函数也与q-模拟存在紧密联系。它有一个积分表示, f ( a , b ) = 1 + 0 2 a exp ( t 2 / 2 ) 2 π d t + 0 2 b exp ( t 2 / 2 ) 2 π d t {\displaystyle f(a,b)=1+\int _{0}^{\infty }{\frac {2a\exp(-t^{2}/2)}{\sqrt {2\pi }}}\leftdt+\int _{0}^{\infty }{\frac {2b\exp(-t^{2}/2)}{\sqrt {2\pi }}}\leftdt}

单变量的拉马努金theta函数被定义成

此外,拉马努金phi函数,拉马努金psi函数和拉马努金chi函数也是拉马努金theta函数的特殊单变量情形。它们之间的关系可以被解释为:

而它就是第三雅可比theta函数的特例 φ ( q ) = ϑ 3 ( q ) {\displaystyle \varphi (q)=\vartheta _{3}(q)} ,它的级数表达是OEIS中的数列A000122。

它的级数表达是OEIS中的数列A010054。

它的级数表达是OEIS中的数列A000700。

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