勒让德多项式

✍ dations ◷ 2025-08-15 13:59:12 #数学物理,微分方程,特殊超几何函数,正交多项式

数学上，雷建德函数指以下雷建德微分方程的解：

为求解方便一般也写成如下施图姆-刘维尔形式:

上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里·雷建德而得名。雷建德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程。当试图在球坐标中求解三维拉普拉斯方程（或相关的其他偏微分方程）时，问题便会归结为勒让德方程的求解。

雷建德方程的解可写成标准的幂级数形式。当方程满足 || < 1 时，可得到有界解（即解级数收敛）。并且当为非负整数，即 = 0, 1, 2,.

勒让德多项式的一个重要性质是其在区间 −1 ≤ ≤ 1 关于L2内积满足正交性，即：

其中 δ 为克罗内克δ记号，当 = 时为1，否则为0。事实上，推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式{1, , 2, ...}进行格拉姆-施密特正交化。之所以具有此正交性是因为如前所述，勒让德微分方程可化为标准的Sturm-Liouville问题：

其中本征值 λ 对应于原方程中的 (+1)。

下表列出了头11阶（从0到10）勒让德多项式的表达式：

头6阶（从0到5）勒让德多项式的曲线如下图所示：

在求解三维空间中的球对称问题，譬如计算点电荷在空间中激发的电势时，常常要用到勒让德多项式作如下形式的级数展开：

其中 $r {\displaystyle r}$ 为偶数时， $P_{k}(x)$ 为奇数时， $P_{k}(x)$ $P_k(x)$ 为奇函数，即：

??? 递推关系 ???相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关

另外，考虑微分后还有以下递推关系：

其中最后一个式子在计算勒让德多项式的积分中较为有用。

使多项式的值：

#include <iostream>using namespace std;int main(){	float n,x;	float polyaendl;	return 0;}float polya(float n, float x){	if (n == 0) return 1.0;	eurn x;	else return ((2.0 * n - 1.0) * x * polya(n - 1.0, x) - (n - 1.0) * polya(n - 2.0, x)) / n;}

移位勒让德多项式

移位勒让德多项式 ${\tilde {P_{n}}}(x)$ $\tilde{P_n}(x)$ 的正交区间定义在上，即：

其显式表达式为：

相应的罗德里格公式为：

下表列出了头4阶移位勒让德多项式：

分数阶勒让德多项式通过将分数阶微分（定义参见分数微积分理论）和通过Γ函数定义的非整数阶乘代入罗德里格公式中来定义。

令大q雅可比多项式中的 $c=0$ $c=0$ ,即勒让德多项式

令连续q勒让德多项式 q->1得勒让德多项式

$\lim _{q\to 1}P_{n}(x|q)=P_{n}(x)$ $\lim _{{q\to 1}}P_{{n}}(x|q)=P_{{n}}(x)$

小q勒让德多项式→勒让德多项式

$\lim _{q\to 1}p_{n}(x|q)=P_{n}(1-2x)$ $\lim _{{q\to 1}}p_{{n}}(x|q)=P_{{n}}(1-2x)$