集合 (数学)

集合（英语：Set，或简称集）是基本的数学概念，它是集合论的研究对象，指具有某种特定性质的事物的总体，（在最原始的集合论─朴素集合论─中的定义，集合就是“一堆东西”。）集合里的事物（“东西”），叫作元素。若然${\displaystyle x}$，就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。一般来讲，集合是具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作元素或是成员。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。

在数学交流当中为了方便，集合会有一些别名。比如：

元素通常用${\displaystyle a,b,c,d,x}$ 有三个元素、而集合 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。数学写法有很多种，不同作者及不同书本用不同的写法: ${\displaystyle \mathrm{Card}<!--\; \; -->(A),\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}A,|A|,\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A},\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}}}$。

集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用 ${\displaystyle \{\}}$ 或符号${\displaystyle \mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}}$表示。比如：在2004年，集合${\displaystyle A}$是所有住在月球上的人，它没有元素，则${\displaystyle A=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}}$。在数学上，空集非常重要。更多资讯请参阅空集。

如果集合只含有限个元素，那么这个集合可以称为有限集合。

集合也可以有无穷多个元素，这样的集合称为无限集合。比如：自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的其他资讯请见集合的势。

若把集合看作“符合任意特定性质的一堆东西”，会得出所谓罗素悖论。为解决罗素悖论，数学家提出公理化集合论。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。

在更深层的公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。

类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“良性类”，我们把这种“良性类”称为集合；另一种是要限制运算的“本性类”，对于本性类，类运算并不是都能进行的。

定义 类A如果满足条件“${\displaystyle \mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}B(A\in <!--\; \in \; -->B)}$”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为${\displaystyle \mathrm{Set}<!--\; \; -->(A)}$。否则称为本性类。

这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。