集合 (数学)

✍ dations ◷ 2025-07-11 16:50:46 #集合论,朴素集合论,公理化集合论

集合(英语:Set,或简称集)是基本的数学概念,它是集合论的研究对象,指具有某种特定性质的事物的总体,(在最原始的集合论─朴素集合论─中的定义,集合就是“一堆东西”。)集合里的事物(“东西”),叫作元素。若然 x {\displaystyle x} ,就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。一般来讲,集合是具有某种特性的事物的整体,或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作元素或是成员。集合的元素可以是任何事物,可以是人,可以是物,也可以是字母或数字等。

在数学交流当中为了方便,集合会有一些别名。比如:

元素通常用 a ,   b ,   c ,   d ,   x {\displaystyle a,\ b,\ c,\ d,\ x} 有三个元素、而集合 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。数学写法有很多种,不同作者及不同书本用不同的写法: Card ( A ) ,   # A ,   | A | ,   A ¯ ,   A ¯ ¯ {\displaystyle \operatorname {Card} (A),\ \#A,\ |A|,\ {\bar {A}},\ {\bar {\bar {A}}}}

集合可以没有元素。这样的集合叫做空集,用 { } {\displaystyle \{\}} 或符号 {\displaystyle \varnothing } 表示。比如:在2004年,集合 A {\displaystyle A} 是所有住在月球上的人,它没有元素,则 A = {\displaystyle A=\varnothing } 。在数学上,空集非常重要。更多资讯请参阅空集。

如果集合只含有限个元素,那么这个集合可以称为有限集合。

集合也可以有无穷多个元素,这样的集合称为无限集合。比如:自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的其他资讯请见集合的势。

若把集合看作“符合任意特定性质的一堆东西”,会得出所谓罗素悖论。为解决罗素悖论,数学家提出公理化集合论。在公理集合论中,集合是一个不加定义的概念。

在更深层的公理化数学中,集合仅仅是一种特殊的类,是“良性类”,是能够成为其它类的元素的类。

类区分为两种:一种是可以顺利进行类运算的“良性类”,我们把这种“良性类”称为集合;另一种是要限制运算的“本性类”,对于本性类,类运算并不是都能进行的。

定义 类A如果满足条件“ B ( A B ) {\displaystyle \exists B(A\in B)} ”,则称类A为一个集合(简称为集),记为 Set ( A ) {\displaystyle \operatorname {Set} (A)} 。否则称为本性类。

这说明,一个集合可以作为其它类的元素,但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。

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