戴尔指数

戴尔指数（英语：Theil Index）又称为泰尔指数，是一个衡量经济不平等的统计量。它也曾经用来衡量其他社会不平等现象，如种族隔离。

戴尔指数主要是利用信息论中的资讯熵的概念导出的。戴尔指数等于资讯冗余，也就是资料最大可能资讯熵减去观测到的资讯熵，它是广义熵指数（英语：generalized entropy index）的特例，可以被视为冗余度、单样性、不平等、非随机性和可压缩性的度量。

戴尔指数最早由荷兰鹿特丹伊拉斯姆斯大学的计量经济学家亨利·戴尔（英语：Henri Theil）（Henri Theil）所提出。

假设一个人口为的群体，其收入分别为 ( = 1,...,)，则它的戴尔指数定义为：

而戴尔指数则定义为

其中${\displaystyle x_i}$ ( = 0,...,)，其中是收入为的人口比例，而 = 代表总收入，可以得知 ${\displaystyle \underset{k=0}{\overset{W}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{f}_k=1}$定义为：

这里的${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$是一个整数，代表最小收入增量（比如新台币1元）。

如果收入分布是个连续分布函数()，取值0到无穷，其中()  是收入为 到  + 的人口数量，那戴尔指数定义为：

其中平均${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$_T 除以${\displaystyle \ln <!--\; \; -->N}$ 可以将方程归一化到0到1的范围，但这样违反独立公理（英语：Economic inequality metrics）: ${\displaystyle T\ne <!--\; \ne \; -->T}$并不符合衡量不平等的标准。

戴尔指数导自克劳德·夏农的信息熵，他的一般数学形式为：

其中 ${\displaystyle p_i}$是从人群里找到${\displaystyle i}$的几率。${\displaystyle k}$是玻尔兹曼常数。在信息论中，当信息以二进制数字给出时，${\displaystyle k=1}$并且对数基底为2。在物理学和戴尔指数的计算中，选择自然对数作为对数基底。当${\displaystyle p_i}$替换成人均收入${\displaystyle x_i}$时，需要除以总收入达到归一化${\displaystyle N\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}$。那可以导出，观察到的信息熵为：

设${\displaystyle T}$为戴尔指数，${\displaystyle S}$为夏农熵，则有

${\displaystyle T=\ln <!--\; \; -->(N)-<!--\; -\; -->S}$

其中，ln(N)是理论最大熵。香浓根据事件发生概率导出的其熵测度。它可以用戴尔系数解释为自某个特定个人处随机取得一块钱的概率。并与其第一项，即总收入中个人所占份额相同。

戴尔指数的一个优点是它是某个子群体中不平等的加权和。例如，美国国内的不平等就是每个州的不平等的加权和，由该州收入相对于国家总收入的比值来加权。

如果人口被划分为${\displaystyle m}$个子群体，${\displaystyle s_k}$ 为群体${\displaystyle k}$ 的收入比例，${\displaystyle T_k}$为该子群体的戴尔指数，而 ${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}_k}$ 为子群体 ${\displaystyle k}$的平均收入，则戴尔指数为

因此，我们可以说某个特定群体给总体“贡献了”一定数量的不平等。

另外一个被广泛使用的不平等度量为基尼系数，该系数对于很多人来说由于基于劳伦茨曲线而非常直观。但是它却没有戴尔指数容易分解。