戴尔指数

✍ dations ◷ 2025-04-03 17:18:34 #经济指数,计量经济学,福利经济学

戴尔指数(英语:Theil Index)又称为泰尔指数,是一个衡量经济不平等的统计量。它也曾经用来衡量其他社会不平等现象,如种族隔离。

戴尔指数主要是利用信息论中的资讯熵的概念导出的。戴尔指数等于资讯冗余,也就是资料最大可能资讯熵减去观测到的资讯熵,它是广义熵指数(英语:generalized entropy index)的特例,可以被视为冗余度、单样性、不平等、非随机性和可压缩性的度量。

戴尔指数最早由荷兰鹿特丹伊拉斯姆斯大学的计量经济学家亨利·戴尔(英语:Henri Theil)(Henri Theil)所提出。

假设一个人口为的群体,其收入分别为 ( = 1,...,),则它的戴尔指数定义为:

而戴尔指数则定义为

其中 x i {\displaystyle x_{i}} ( = 0,...,),其中是收入为的人口比例,而 = 代表总收入,可以得知 k = 0 W f k = 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{W}f_{k}=1} 定义为:

这里的 μ {\displaystyle \mu } 是一个整数,代表最小收入增量(比如新台币1元)。

如果收入分布是个连续分布函数(),取值0到无穷,其中()  是收入为 到  + 的人口数量,那戴尔指数定义为:

其中平均 μ {\displaystyle \mu } T 除以 ln N {\displaystyle \ln N} 可以将方程归一化到0到1的范围,但这样违反独立公理(英语:Economic inequality metrics): T T {\displaystyle T\neq T} 并不符合衡量不平等的标准。

戴尔指数导自克劳德·夏农的信息熵,他的一般数学形式为:

其中 p i {\displaystyle p_{i}} 是从人群里找到 i {\displaystyle i} 的几率。 k {\displaystyle k} 是玻尔兹曼常数。在信息论中,当信息以二进制数字给出时, k = 1 {\displaystyle k=1} 并且对数基底为2。在物理学和戴尔指数的计算中,选择自然对数作为对数基底。当 p i {\displaystyle p_{i}} 替换成人均收入 x i {\displaystyle x_{i}} 时,需要除以总收入达到归一化 N x ¯ {\displaystyle N{\overline {x}}} 。那可以导出,观察到的信息熵为:

T {\displaystyle T} 为戴尔指数, S {\displaystyle S} 为夏农熵,则有

T = ln ( N ) S {\displaystyle T=\ln(N)-S}

其中,ln(N)是理论最大熵。香浓根据事件发生概率导出的其熵测度。它可以用戴尔系数解释为自某个特定个人处随机取得一块钱的概率。并与其第一项,即总收入中个人所占份额相同。

戴尔指数的一个优点是它是某个子群体中不平等的加权和。例如,美国国内的不平等就是每个州的不平等的加权和,由该州收入相对于国家总收入的比值来加权。

如果人口被划分为 m {\displaystyle m} 个子群体, s k {\displaystyle s_{k}} 为群体 k {\displaystyle k} 的收入比例, T k {\displaystyle T_{k}} 为该子群体的戴尔指数,而 x ¯ k {\displaystyle {\overline {x}}_{k}} 为子群体 k {\displaystyle k} 的平均收入,则戴尔指数为

因此,我们可以说某个特定群体给总体“贡献了”一定数量的不平等。

另外一个被广泛使用的不平等度量为基尼系数,该系数对于很多人来说由于基于劳伦茨曲线而非常直观。但是它却没有戴尔指数容易分解。

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