对偶多面体

✍ dations ◷ 2025-04-26 13:15:07 #多面体,多胞形,对偶理论,多面体变换

在几何学，若一种多面体的每个顶点均能对应到另一种多面体上的每个面的中心，它就是对方的对偶多面体。

根据对偶原则，每种多面体都存在对偶多面体。一种多面体的对偶多面体的对偶多面体等同该种多面体。

对偶的性质可以透过一个已知的球定义。每个顶点都在一个平面之上，使得由中心向顶点的射线都和平面垂直，且中心和每点的距离的平方等于半径的平方。在坐标来说，关于球：

顶点

和平面结合

相应的对偶多面体的顶点就是原来多面体的面的对应，而对偶多面体的面就是原来多面体的顶点的对应。另外，相邻顶点定义出的棱能对应出两个相邻面，这些面的相交线亦定义出对偶多面体的一条棱。

这些规则能一般化到 $n {\displaystyle n}$ $n$ 维空间，以定义出对偶多胞形。多胞形的顶点能对应到对偶者的 $n-1$ $n-1$ 维的元素，而 $j {\displaystyle j}$ $j$ 点能定义 $j-1$ $j-1$ 维元素，该元素能对应到 $j {\displaystyle j}$ $j$ 超平面， $j {\displaystyle j}$ $j$ 超平面相交的位置能给出一个 $n-j$ $n-j$ 维元素。蜂巢的对偶也能以近似方式定义。

这个对偶的概念和射影几何中的对偶相关。

反角柱的对偶多面体是偏方面体，每面均呈鸢形。

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