平面波

✍ dations ◷ 2025-07-11 16:13:36 #平面波
在三维空间里,平面波(plane wave)是一种波动,其波阵面(在任何时刻,波相位相等的每一点所形成的曲面)是相互平行的平面。平面波的传播方向垂直于波前。假若平面波的振幅不是常数,例如,振幅是位置的函数,则称此种平面波为“非均匀平面波”。:24-27加以延伸,平面波这术语时常用来形容,在空间的一个局部区域里,近似于平面波的波动。例如,一个局部区域波源,像发射无线电波的天线,所发射出的电磁波,在远场区(英语:far-field region)可以近似为平面波。等价地说,对于在一个均匀介质内,波的传播距离超长于波长的案例,在几何光学的正确极限内,射线区域性地对应于近似平面波。用数学来表述,波动方程为其中, f ( x , t ) {displaystyle f(mathbf {x} ,t)} 是描述波动的函数, ∇ 2 {displaystyle nabla ^{2}} 是拉普拉斯算符, v {displaystyle v} 是波动传播的速度, x {displaystyle mathbf {x} } 是位置, t {displaystyle t} 是时间。描述平面波的函数 ψ ~ ( x , t ) {displaystyle {tilde {psi }}(mathbf {x} ,t)} 是波动方程的一种解答:平面波 ψ ~ ( x , t ) {displaystyle {tilde {psi }}(mathbf {x} ,t)} 的形式为:其中, i {displaystyle i} 是虚数单位, k {displaystyle mathbf {k} } 是波矢, ω = k v {displaystyle omega =kv} 是角频率, A ~ {displaystyle {tilde {A}}} 是复值的振幅标量。取复函数的实部,则可以得到其物理意义。注意到在任意时刻 t = t 0 {displaystyle t=t_{0}} ,波相位不变的曲面满足方程或者,其中, c 1 {displaystyle c_{1}} 、 c 2 {displaystyle c_{2}} 是任意常数。所有满足这方程的 x {displaystyle mathbf {x} } 形成一个与 k {displaystyle mathbf {k} } 相互垂直的平面,平行波的波前就是这种平面,所有的波前都与 k {displaystyle mathbf {k} } 相互垂直,都相互平行。对于矢量的波动方程,像描述在弹性固体内的机械波或电磁波的波动方程:其中, E {displaystyle mathbf {E} } 是电场, B {displaystyle mathbf {B} } 是磁场;解答也很类似:其中, A ~ {displaystyle {tilde {mathbf {A} }}} 是复值的振幅矢量。横波的振幅矢量垂直于波矢,像传播于均向性介质的电磁波。纵波的振幅矢量平行于波矢,像传播于气体或液体的声波。传播于某介质内,角频率与波矢之间的关系,可以以函数 ω ( k ) {displaystyle omega (mathbf {k} )} 表达,称为介质的色散关系。对于这介质,波的相速度是群速度是

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