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平面波
✍ dations ◷ 2025-07-11 16:13:36 #平面波
在三维空间里,平面波(plane wave)是一种波动,其波阵面(在任何时刻,波相位相等的每一点所形成的曲面)是相互平行的平面。平面波的传播方向垂直于波前。假若平面波的振幅不是常数,例如,振幅是位置的函数,则称此种平面波为“非均匀平面波”。:24-27加以延伸,平面波这术语时常用来形容,在空间的一个局部区域里,近似于平面波的波动。例如,一个局部区域波源,像发射无线电波的天线,所发射出的电磁波,在远场区(英语:far-field region)可以近似为平面波。等价地说,对于在一个均匀介质内,波的传播距离超长于波长的案例,在几何光学的正确极限内,射线区域性地对应于近似平面波。用数学来表述,波动方程为其中,
f
(
x
,
t
)
{displaystyle f(mathbf {x} ,t)}
是描述波动的函数,
∇
2
{displaystyle nabla ^{2}}
是拉普拉斯算符,
v
{displaystyle v}
是波动传播的速度,
x
{displaystyle mathbf {x} }
是位置,
t
{displaystyle t}
是时间。描述平面波的函数
ψ
~
(
x
,
t
)
{displaystyle {tilde {psi }}(mathbf {x} ,t)}
是波动方程的一种解答:平面波
ψ
~
(
x
,
t
)
{displaystyle {tilde {psi }}(mathbf {x} ,t)}
的形式为:其中,
i
{displaystyle i}
是虚数单位,
k
{displaystyle mathbf {k} }
是波矢,
ω
=
k
v
{displaystyle omega =kv}
是角频率,
A
~
{displaystyle {tilde {A}}}
是复值的振幅标量。取复函数的实部,则可以得到其物理意义。注意到在任意时刻
t
=
t
0
{displaystyle t=t_{0}}
,波相位不变的曲面满足方程或者,其中,
c
1
{displaystyle c_{1}}
、
c
2
{displaystyle c_{2}}
是任意常数。所有满足这方程的
x
{displaystyle mathbf {x} }
形成一个与
k
{displaystyle mathbf {k} }
相互垂直的平面,平行波的波前就是这种平面,所有的波前都与
k
{displaystyle mathbf {k} }
相互垂直,都相互平行。对于矢量的波动方程,像描述在弹性固体内的机械波或电磁波的波动方程:其中,
E
{displaystyle mathbf {E} }
是电场,
B
{displaystyle mathbf {B} }
是磁场;解答也很类似:其中,
A
~
{displaystyle {tilde {mathbf {A} }}}
是复值的振幅矢量。横波的振幅矢量垂直于波矢,像传播于均向性介质的电磁波。纵波的振幅矢量平行于波矢,像传播于气体或液体的声波。传播于某介质内,角频率与波矢之间的关系,可以以函数
ω
(
k
)
{displaystyle omega (mathbf {k} )}
表达,称为介质的色散关系。对于这介质,波的相速度是群速度是
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