平面波

在三维空间里，平面波（plane wave）是一种波动，其波阵面（在任何时刻，波相位相等的每一点所形成的曲面）是相互平行的平面。平面波的传播方向垂直于波前。假若平面波的振幅不是常数，例如，振幅是位置的函数，则称此种平面波为“非均匀平面波”。:24-27加以延伸，平面波这术语时常用来形容，在空间的一个局部区域里，近似于平面波的波动。例如，一个局部区域波源，像发射无线电波的天线，所发射出的电磁波，在远场区（英语：far-field region）可以近似为平面波。等价地说，对于在一个均匀介质内，波的传播距离超长于波长的案例，在几何光学的正确极限内，射线区域性地对应于近似平面波。用数学来表述，波动方程为其中， f ( x , t ) {displaystyle f(mathbf {x} ,t)} 是描述波动的函数， ∇ 2 {displaystyle nabla ^{2}} 是拉普拉斯算符， v {displaystyle v} 是波动传播的速度， x {displaystyle mathbf {x} } 是位置， t {displaystyle t} 是时间。描述平面波的函数 ψ ~ ( x , t ) {displaystyle {tilde {psi }}(mathbf {x} ,t)} 是波动方程的一种解答：平面波 ψ ~ ( x , t ) {displaystyle {tilde {psi }}(mathbf {x} ,t)} 的形式为：其中， i {displaystyle i} 是虚数单位， k {displaystyle mathbf {k} } 是波矢， ω = k v {displaystyle omega =kv} 是角频率， A ~ {displaystyle {tilde {A}}} 是复值的振幅标量。取复函数的实部，则可以得到其物理意义。注意到在任意时刻 t = t 0 {displaystyle t=t_{0}} ，波相位不变的曲面满足方程或者，其中， c 1 {displaystyle c_{1}} 、 c 2 {displaystyle c_{2}} 是任意常数。所有满足这方程的 x {displaystyle mathbf {x} } 形成一个与 k {displaystyle mathbf {k} } 相互垂直的平面，平行波的波前就是这种平面，所有的波前都与 k {displaystyle mathbf {k} } 相互垂直，都相互平行。对于矢量的波动方程，像描述在弹性固体内的机械波或电磁波的波动方程：其中， E {displaystyle mathbf {E} } 是电场， B {displaystyle mathbf {B} } 是磁场;解答也很类似：其中， A ~ {displaystyle {tilde {mathbf {A} }}} 是复值的振幅矢量。横波的振幅矢量垂直于波矢，像传播于均向性介质的电磁波。纵波的振幅矢量平行于波矢，像传播于气体或液体的声波。传播于某介质内，角频率与波矢之间的关系，可以以函数 ω ( k ) {displaystyle omega (mathbf {k} )} 表达，称为介质的色散关系。对于这介质，波的相速度是群速度是