应力-能量张量

应力-能量张量，也称应力-能量-动量张量、能量-应力张量、能量-动量张量、简称能动张量，在物理学中是一个张量，描述能量与动量在时空中的密度与通量(flux)，其为牛顿物理中应力张量的推广。在广义相对论中，应力-能量张量为重力场的源，一如牛顿重力理论中质量是重力场源一般。应力-能量张量具有重要的应用，尤其是在爱因斯坦场方程。

应力-能量张量为一个二阶张量${\displaystyle T^{ab}}$表面之通量，等同于

第 动量之密度。

分量

代表 动量通过表面之通量。其中较特别的是：

代表一个类似压强与张应力的物理量——正向应力(normal stress)，而

代表剪应力(shear stress)。

提醒：在固态物理与流体力学中，应力张量所指为应力-能量张量于共动参考系(comoving frame of reference)的空间分量。换句话说，工程学中的应力-能量张量与此处由动量对流项(momentum convective term)表示的应力-能量张量有所差异。

应力-能量张量满足连续性方程(continuity equation)

此一物理量

是对一类空切面积分，得出能量-动量矢量。分量${\displaystyle T^{a0}}$ = 1, 2, 3)则对应到局域非重力的应力分量，其中包括了压强。此一张量为与时空移动相应的守恒诺特流(Noether current)。

上面所给的关系并不唯一决定此张量。在广义相对论中，对称形式的张量，也就是额外满足

的关系的张量成为时空曲率的源，并且是与规范变换(gauge transformation)相应的流密度(current density)，在此是以坐标变换为例。若有扭率(torsion)，则此张量就不再是对称的。这对应到非零自旋张量的例子。参见爱因斯坦-嘉当重力。

在广义相对论中，平直时空所用的偏导数(偏微分，partial derivative)修改为协变导数(covariant derivative)。这表示连续性方程中用张量表示的能量和动量不是绝对地守恒。在牛顿重力的经典极限，这一点有一个简单的解释：与引力势能互相交换的能量，它没有包含在能动张量中，而动量是通过场传递到其他物体。然而在广义相对论中，无法定义对应“重力场”能量密度与动量密度的物理量；任何意图要定义这些密度的膺张量(pseudo-tensor)均可以透过一个坐标转换使它们局域地消失为零。一般情况下，对于应力─能量张量只是部分的"协变守恒"，我们必须感到心满意足。

在弯曲时空中，一般而言类空积分依赖于类空截面。事实上在一般的弯曲时空中是无法定义一个全局的能量─动量张量（原文误为'vector'）。

在广义相对论中，应力-能量张量主要出现在爱因斯坦场方程的研究题材中，方程常写为：

其中${\displaystyle R_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}$的无相互作用粒子的应力-能量张量为：

其中δ是狄拉克δ函数，${\displaystyle v^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$是速度矢量：

对于处于热平衡状态下的流体，应力-能量张量具有一个特别简单的形式：

其中${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$是质量-能量密度（牛顿每立方米），${\displaystyle p}$是流体静压力（牛顿每平方米），${\displaystyle u^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$是流体的四维速度，${\displaystyle g^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}$是度量张量的逆。

四维速度满足：

在随流体一起移动的惯性参考系中，四维速度为：

度量张量的倒数为：

应力-能量张量是一个对角矩阵：

一个无源电磁场的应力-能量张量为：

其中${\displaystyle F_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$是电磁张量。

满足克莱因-戈尔登方程的标量场${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$的应力-能量张量为：

存在有一些互不相等的应力-能量张量。

其为与时空平移相关的诺特流。

应力-能量张量在广义相对论中仅能以动态度规来定义。其定义成一个泛函导数(functional derivative)

其中S_matter是作用量的非重力部分，为对称的且有规范不变性。

赝张量的例子有爱因斯坦赝张量与蓝道-里夫须兹赝张量(Landau-Lifschitz pseudotensor)。