可数集

在数学上，可数集，或称可列集，是与自然数集的某个子集具有相同基数（等势）的集合。在这个意义下，可数集由有限可数集和可数无穷集组成。不是可数集的无穷集称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素，正如其名，是“可以计数”的：尽管计数有可能永远无法终止，集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。“可数集”这个术语有时也指代可数无穷集，即仅代表能和自然数集本身一一对应的集合。两个定义的差别在于有限集合在前者中算作可数集，而在后者中不算作可数集。为了避免歧义，前一种意义上的可数有时称为至多可数，后一种可数集则称为无限可数集。如果存在从 S {displaystyle S} 到自然数集合 N = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} =left{1,2,3,ldots right}} 存在单射函数，则 S {displaystyle S} 称为可数集。如果 S {displaystyle S} 还是满射，则同样是双射，则称 S {displaystyle S} 是无限可数集。换句话说，一个集合要想是无限可数集，它要和自然数集 N {displaystyle mathbb {N} } 有一一对应关系。如上所述，这个术语不普遍：一些作者在这里使用可数来表示被称为“无限可数”，并没有包括有限集。由定义易知所有偶数所构成的集合为可列的，因为我们可以将所有的 n {displaystyle n} 都对应到 2 n {displaystyle 2n} ，如此就完成了一一对应。类似地，不难证明所有整数构成的集合 Z {displaystyle Z} 、所有有理数构成的集合 Q {displaystyle Q} 、甚至所有代数数构成的集合都是可列的。此外，自然数集合的笛卡尔积 N × N {displaystyle mathbb {N} times mathbb {N} } 是可数的，这是因为可以定义一个从自然数集合的笛卡尔积 N × N {displaystyle mathbb {N} times mathbb {N} } 到自然数集合 N {displaystyle mathbb {N} } 的单射函数 f ( p , q ) = 2 p 3 q {displaystyle f(p,q)=2^{p}3^{q}} 之故。可数无限多个可数集的联集是可数的。并非所有的无穷集都可数。乔治·康托首先指出存在有不可列的无穷集合。他利用他发明的对角论证法证明了由所有实数构成的集合 R {displaystyle R} 是不可列的，即 R {displaystyle R} 与 N {displaystyle N} 之间不可能存在一种一一对应。这同时也表示实数当中存在有一些数不是代数数，因为刚才已经说过代数数是可列的；于是这就给出了一种超越数存在的非构造性证明。由定义，如果存在从 S {displaystyle S} 到自然数集合 N = { 0 , 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} =left{0,1,2,3,ldots right}} 存在单射函数 f : S → N {displaystyle f:Srightarrow mathbb {N} } ，则 S {displaystyle S} 称为可数集。这似乎自然地把集合划分为不同类别：把所有包含一个元素的集合放在一起；包含两个元素的集合在一起......最后，把所有无限集合放在一起，并认为它们具有相同的大小。然而，在大小的自然定义下，这种观点是不确切的。为了阐述这一点，我们需要一个双射的概念。虽然双射看起来比数更加高深，但原本数学发展中集论定义函数要先于数字。因为它们都是基于更简单的集合。这就引出了双射的概念：由于 { a , b , c } {displaystyle left{a,b,cright}} 的每个元素都可以和 { 1 , 2 , 3 } {displaystyle left{1,2,3right}} 中准确的一个配对，并且反过来也同样，这就定义了一个双射。我们将这个情境一般化，定义当且仅当它们之间存在双射，两个集合的大小相同。对于有限集，这里给出了“大小相同”的常用定义。那么对于无限集呢？考虑集合 A = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle A=left{1,2,3,ldots right}} （正整数集），和 B = { 2 , 4 , 6 , … } {displaystyle B=left{2,4,6,ldots right}} （正偶数集）。我们说，在我们的定义下，这些集合有相同的大小，并且因此B是无限可数集。我们需要证明它们之间存在双射。但这是很简单的，运用 n ↔ 2 n {displaystyle nleftrightarrow 2n} ，那么正如前面的例子， A {displaystyle A} 的每个元素都已和 B {displaystyle B} 中准确的一个配对，并且反过来也同样。因而它们大小相同。这给出了一个集合与其一个合适的子集大小相同的例子，这种情形在有限集中是不可能的。同样，自然数的有序对的集合是无限可数集，可以沿着图中的一种路径：配对结果就像这样：显然这个映射可以覆盖所有这些有序对。邻域  · 内部  · 边界  · 外部  · 极限点  · 孤点