可数集

✍ dations ◷ 2025-06-06 23:43:08 #可数集
在数学上,可数集,或称可列集,是与自然数集的某个子集具有相同基数(等势)的集合。在这个意义下,可数集由有限可数集和可数无穷集组成。不是可数集的无穷集称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素,正如其名,是“可以计数”的:尽管计数有可能永远无法终止,集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。“可数集”这个术语有时也指代可数无穷集,即仅代表能和自然数集本身一一对应的集合。两个定义的差别在于有限集合在前者中算作可数集,而在后者中不算作可数集。为了避免歧义,前一种意义上的可数有时称为至多可数,后一种可数集则称为无限可数集。如果存在从 S {displaystyle S} 到自然数集合 N = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} =left{1,2,3,ldots right}} 存在单射函数,则 S {displaystyle S} 称为可数集。如果 S {displaystyle S} 还是满射,则同样是双射,则称 S {displaystyle S} 是无限可数集。换句话说,一个集合要想是无限可数集,它要和自然数集 N {displaystyle mathbb {N} } 有一一对应关系。如上所述,这个术语不普遍:一些作者在这里使用可数来表示被称为“无限可数”,并没有包括有限集。由定义易知所有偶数所构成的集合为可列的,因为我们可以将所有的 n {displaystyle n} 都对应到 2 n {displaystyle 2n} ,如此就完成了一一对应。类似地,不难证明所有整数构成的集合 Z {displaystyle Z} 、所有有理数构成的集合 Q {displaystyle Q} 、甚至所有代数数构成的集合都是可列的。此外,自然数集合的笛卡尔积 N × N {displaystyle mathbb {N} times mathbb {N} } 是可数的,这是因为可以定义一个从自然数集合的笛卡尔积 N × N {displaystyle mathbb {N} times mathbb {N} } 到自然数集合 N {displaystyle mathbb {N} } 的单射函数 f ( p , q ) = 2 p 3 q {displaystyle f(p,q)=2^{p}3^{q}} 之故。可数无限多个可数集的联集是可数的。并非所有的无穷集都可数。乔治·康托首先指出存在有不可列的无穷集合。他利用他发明的对角论证法证明了由所有实数构成的集合 R {displaystyle R} 是不可列的,即 R {displaystyle R} 与 N {displaystyle N} 之间不可能存在一种一一对应。这同时也表示实数当中存在有一些数不是代数数,因为刚才已经说过代数数是可列的;于是这就给出了一种超越数存在的非构造性证明。由定义,如果存在从 S {displaystyle S} 到自然数集合 N = { 0 , 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle mathbb {N} =left{0,1,2,3,ldots right}} 存在单射函数 f : S → N {displaystyle f:Srightarrow mathbb {N} } ,则 S {displaystyle S} 称为可数集。这似乎自然地把集合划分为不同类别:把所有包含一个元素的集合放在一起;包含两个元素的集合在一起......最后,把所有无限集合放在一起,并认为它们具有相同的大小。然而,在大小的自然定义下,这种观点是不确切的。为了阐述这一点,我们需要一个双射的概念。虽然双射看起来比数更加高深,但原本数学发展中集论定义函数要先于数字。因为它们都是基于更简单的集合。这就引出了双射的概念:由于 { a , b , c } {displaystyle left{a,b,cright}} 的每个元素都可以和 { 1 , 2 , 3 } {displaystyle left{1,2,3right}} 中准确的一个配对,并且反过来也同样,这就定义了一个双射。我们将这个情境一般化,定义当且仅当它们之间存在双射,两个集合的大小相同。对于有限集,这里给出了“大小相同”的常用定义。那么对于无限集呢?考虑集合 A = { 1 , 2 , 3 , … } {displaystyle A=left{1,2,3,ldots right}} (正整数集),和 B = { 2 , 4 , 6 , … } {displaystyle B=left{2,4,6,ldots right}} (正偶数集)。我们说,在我们的定义下,这些集合有相同的大小,并且因此B是无限可数集。我们需要证明它们之间存在双射。但这是很简单的,运用 n ↔ 2 n {displaystyle nleftrightarrow 2n} ,那么正如前面的例子, A {displaystyle A} 的每个元素都已和 B {displaystyle B} 中准确的一个配对,并且反过来也同样。因而它们大小相同。这给出了一个集合与其一个合适的子集大小相同的例子,这种情形在有限集中是不可能的。同样,自然数的有序对的集合是无限可数集,可以沿着图中的一种路径:配对结果就像这样:显然这个映射可以覆盖所有这些有序对。邻域  · 内部  · 边界  · 外部  · 极限点  · 孤点

相关

  • 血管运动性鼻炎血管运动性鼻炎是一种非过敏性鼻炎,它有很多的症状跟一般的鼻炎相同,比如慢性的流鼻涕,伴有间断性喷嚏、鼻溢、鼻尖粘膜组织充血,血管运动性鼻炎与鼻窦炎以及其他应激性反应是有
  • 脓疮脓疡(拉丁语:abscessus; 德语:Abszess; 法语:Abcès; 英语:Abscess)又称作脓疮、脓肿。指的是在身体组织中蓄积的脓。接近体表的脓疡会有红、肿、热、痛等症状,触诊病灶时感觉其内
  • 左心室心室(英语:Ventricle)是心脏的组成部分,哺乳动物心脏有四个腔,前下部的为左、右心室(英语:Ventricle),二者之间隔以室中膈;后上部的为左、右心房,之间隔以房中膈。正常心脏左右两半互不
  • 上皮细胞上皮组织,简称上皮(英语:Epithelium),包括被覆上皮、腺上皮和感觉上皮三类。被覆上皮是被覆于各结构界面处的上皮组织,由规则密集排列的上皮细胞和少量细胞间质组成。在胚胎的发育
  • VIAbr /16固体、 液体、 气体氧族元素是指元素周期表上第16族(ⅥA族)的元素,位于氮族元素和卤素之间。氧族元素包含氧(O)、硫(S)、硒(Se)、碲(Te)、钋(Po)、钅立(Lv),其中氧、硫、硒为非金属,碲为类金
  • 维生素D维他命D也称抗佝偻病维他命,是一类脂溶性维他命,属类固醇化合物。在人类所需的维他命中,维他命D非常特殊,是一种激素的前体,而且人一天只要暴露在阳光下10分钟,人体自身即可合成足
  • 盎格鲁-撒克逊英格兰本条目是分类中的文章盎格鲁-撒克逊英格兰(英语:Anglo-Saxon England)是指从5世纪不列颠罗马统治的结束和盎格鲁-撒克逊诸王国的建立,到1066年诺曼征服的一段英格兰历史时期。盎
  • 日本内阁总理大臣政治主题内阁总理大臣(日语:内閣総理大臣〔內閣總理大臣〕/ないかくそうりだいじん Naikaku sōri daijin */?)是日本最高行政首长,主要职责为领导内阁的运作,主持内阁会议(日语:
  • 马来穿山甲马来穿山甲(学名:Manis javanica),又名爪哇穿山甲或爪哇鲮鲤,是东南亚的一种穿山甲,分布在泰国、印尼、菲律宾、越南、老挝、柬埔寨、马来西亚及新加坡的森林。它们大部分时间都是
  • 在解剖学上,脚踝(拼音:jiǎo huái),或称踝关节是人类足部与腿相连的部位,组成包括7块跗骨加上足部的跖骨和小腿的骨骼。