施泰纳-莱穆斯定理

施泰纳-莱穆斯定理是平面几何的一个定理：两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。该命题看似显而易见，但直到19世纪上半叶才得到明确的几何证明，随后成为平面几何领域最受欢迎的证明题之一。该定理以德国数学家C·L·莱穆斯（英语：C. L. Lehmus）和瑞士数学家雅各布·施泰纳（英语：Jakob Steiner）命名，两人在通信中最早提出和解决了该问题。

施泰纳-莱穆斯定理的结论并不能推广到外角平分线上。也就是说，两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。

在平面几何中，“等腰三角形的两条内角平分线相等”，是一个非常容易得到的结论。该命题的逆命题，“两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形”，则没有看上去那么容易证明。1840年，德国数学家C·L·莱穆斯（英语：C. L. Lehmus）写信给瑞士数学家、几何学权威雅各布·施泰纳（英语：Jakob Steiner），询问是否能给出一个纯几何的证明。施泰纳解决了问题，不过直到1844年才公开发表。第一个公开证明来自法国路易大帝中学的学生鲁热万（Rougevin），发表在1842年的《新数学年鉴（法语：Nouvelles annales de mathématiques）》上。1850年，莱穆斯也给出了自己的证明。

19世纪40年代起的一百多年里，关于施泰纳-莱穆斯定理的几何证明大量涌现，有上百个之多。绝大多数证明都依赖于反证法，即先假定两内角平分线相等的三角形不等腰，其中一个内角大于另一个，然后推出矛盾的结论。于是，关注点变成了，施泰纳-莱穆斯定理是否有“直接”的几何证明法，以及怎样的证明才算得上是“直接”。不过也有人认为，拒绝反证法的“纯粹主义”并没有什么意义。

在 ${\displaystyle \mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC}$ 中，两条内角平分线 ${\displaystyle CE=BD}$ 。

假设 ${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ABC\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ACB}$ ，令 。

在线段 ${\displaystyle AB}$ 上取点 ${\displaystyle G}$，使 ${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ECG=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$， ${\displaystyle CG}$ 交 ${\displaystyle BD}$ 于点 ${\displaystyle F}$ 。

结论与假设矛盾，故假设不成立。故 ${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ABC=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ACB}$ 。

在 ${\displaystyle \mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC}$ 中，两条内角平分线 ${\displaystyle BE=CD}$ 。记 ${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}CBE=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ABE=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$ ，${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BCD=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ACD=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$ 。

做直线 ${\displaystyle EF}$ ，使 ${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BEF=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$。做直线 ${\displaystyle BF}$ ，使 ${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}EBF=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}CDB={180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}-<!--\; -\; -->2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$ 。

该证明方法由F. G. Hesse于1874年发表。不过，该证明方法所用到的一些构造和定理，如“三角形内角和为180度”，本身需要用反证法去证明，因此一些纯粹主义者认为这一证明还是不够直接。

利用角平分线长公式，可以简洁地证明施泰纳-莱穆斯定理。

化简后得到： ${\displaystyle c(a+b+c)(a-<!--\; -\; -->b)=0}$

连乘的其他各项都为正数，从而推出： ${\displaystyle a-<!--\; -\; -->b=0}$

施泰纳-莱穆斯定理的结论并不能推广到外角平分线上。也就是说，两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。一个常举的反例是三个内角分别为132度、36度和12度的三角形，因为这个三角形的两条外角平分线恰等于一条边，易于证明。

进一步地，数学家们尝试证明，所有两条外角平分线相等的不等腰三角形的共性。中国数学家蒋声指出，满足下列条件的三角形都是有两条外角平分线相等的不等腰三角形：

“两条外角平分线相等的三角形是等腰三角形”是假命题，不过较弱的命题是成立的：三角形的两个角的外角平分线相等，若第三个角是最大或最小的角，则该三角形是等腰三角形；不然，则不是等腰三角形。