正则形式的博弈

✍ dations ◷ 2025-09-06 13:45:16 #正则形式的博弈

在博弈论中,正则形式(Normal-form game)是描述博弈的一种方式。与延展形式不同,正则形式不用图形来描述博弈,而是用矩阵来陈述博弈。与延展形式的表述方式相比,这种方式在识别出严格优势策略和纳什均衡上更有用,但会丢失某些信息。博弈的正则形式的表述方式包括如下部分:每个参与者所有显然的和可能的策略,以及和与其相对应的收益。

在非完美信息的完全静态博弈中,正则形式的表述方式详细地说明了参与者策略空间和收益函数。策略空间是某个参与者的所有可能策略的集合。策略是参与者在博弈的每个阶段——不管在博弈中这个阶段实际上是否会出现——将要采取的行动的完整计划。每个参与者的收益函数,是从参与者策略空间的向量积到该参与者收益集合(一般是实数集,数字表示基数效用或序数效用——在正则形式的表述方式中常常是基数效用)的映射。也就是说,参与者的收益函数把策略组合(所有参与者策略的清单)作为它的输入量,然后输出参与者的收益。

有种博弈是参与者同时(或至少在做出行动前不观察其他参与者的动作)做出行动,并按照上述已做出行动的组合获得收益。右边的矩阵是这种博弈得正则形式的表述方式。例如,如果甲做出行动“顶”,而乙做出行动“左”,则甲得到收收益4,乙得到收益3。在每个回合,第一个数字代表排参与者(此处为甲)的收益,第二个数字代表列参与者(此处为乙)的收益。

对称博弈(其收益不是依赖于参与者选择的动作)常常被表述为只有一种收益,即竖排参与者的收益。例如,左右两边的收益矩阵表述的是同一个博弈。

收益矩阵有助于剔除劣势策略,而且经常被用于说明这个概念。例如,在囚徒困境中(右图),参与者会发现因为其他人的,成了严格劣势策略。参与者会比较每列的第一个数字,在这个例子中,3>2且1>0。这表明无论横排参与者怎样选择,竖排参与者选择都比较好些。类似地,参与者会比较每列的第二个数字,同样也是3>2且1>0。这说明无论竖排参与者怎么做,横排参与者选择都比较好些。这就证明了此博弈唯一的纳什均衡是(,)。

这些矩阵只表述同时(或者更一般地,信息是不完美的)做出行动的博弈。上述矩阵不能表述甲先做出行动,被乙观察到,然后乙再做出行动的博弈。因为在这个例子中,无法确定乙每次的策略。为了表述这种连续博弈,我们要列出乙在博弈进行期间所有的行动——尽管根据实际情况,某种行动决不会出现。和前面一样,在这个博弈中乙有两种选择,和。与前面不一样的是,视甲的行动不同而定,乙有四种策略。这些策略是:

右图是这个博弈的正则形式的表述方式。

为了用把博弈表述成正则形式,需要提供下列数据:

S k = { 1 , 2 , , n k } . {\displaystyle S_{k}=\{1,2,\ldots ,n_{k}\}.} 元组

σ = ( σ 1 , σ 2 , , σ m ) {\displaystyle {\vec {\sigma }}=(\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{m})} = {1, 2, ..., }中对每个参与者详细说明。

定义:一个正则形式的博弈的结构形如

( P , S , F ) {\displaystyle (P,\mathbf {S} ,\mathbf {F} )} = {1,2, ...,}是参与者集合,

S = ( S 1 , S 2 , , S m ) {\displaystyle \mathbf {S} =(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{m})} 元组。

没有理由在前面的讨论中,把参与者数量有限或每个参与者的策略有限的博弈排除在外。因为要用到泛函分析的技巧,关于有限博弈的研究非常艰深。

相关

  • 嗜睡症嗜睡症(hypersomnia)是一种会睡眠过度的疾病,主要有两种类型:原发性嗜睡症和反复性嗜睡症。两者的症状相同,但发生频率不同。患有嗜睡症的人会反复发生过度日间嗜睡(英语:Excessive
  • 热中子中子温度,亦称中子能量,指的是自由中子的动能,单位通常是电子伏特。由于中子经过不同温度的减速剂会有不同的速度分布,一般可以使用温度来衡量中子的动能。中子的能量分布基本上
  • 脂肪酸脂肪酸(英语:Fatty acid)是一类羧酸化合物,由碳氢组成的烃类基团连结羧酸所构成。三个长链脂肪酸与甘油形成三酸甘油酯(Triacylglycerols),为脂肪的主要成分,归于脂类。饱和脂肪酸(Sa
  • 不安全性行为安全性行为是指一套为保持人们身心健康的性行为作法而做出的设计,狭义的指减低性病感染风险的性行为;广义的安全性行为除此之外,还包括对进行性行为的人的心理状况、进行性行为
  • 阿夸维特阿夸维特(Aquavit, Akvavit),是主要生产于斯堪的纳维亚地区的一种加味蒸馏酒,酒精浓度一般为40%,其历史可追溯至15世纪。阿夸维特与伏特加的主原料相近,为谷类与马铃薯,而其特殊香
  • 乳头乳头也叫奶头,是哺乳动物乳房中央突起的圆柱状部分,比乳晕和乳房要硬。雌性哺乳动物的乳头有哺乳功能,乳水会从乳腺管经由乳头分泌,喂养婴儿。乳水可能是因为乳头受力而流出,也可
  • 燕南园坐标:39°59′23″N 116°18′32″E / 39.989665°N 116.308782°E / 39.989665; 116.308782 燕南园位于北京大学燕园校区南部。东邻百年纪念讲堂,西至原北京大学校医院和勺园
  • 科摩罗法郎科摩罗法郎 (法语: franc comorien;阿拉伯语: فرنك قمري),货币编号KM。是科摩罗的法定货币。辅币单位为分,1法郎=100分。
  • 微博桌面微博桌面是由新浪微博发布的一款新浪微博桌面客户端软件,具有阅读与发布微博、聊天、新消息提示、快速回复消息等功能的微博桌面客户端。自2015年2月后软件再未进行过任何更
  • 孙俪邓涵之(儿子) (2011-11-12) 2011年11月12日(8岁) 邓涵一(女儿)孙俪(1982年9月26日-),真名孙丽,出生于上海,中国大陆女艺人,隶属于海润。丈夫为邓超,子女为邓涵之和邓涵一。1995年