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汉娜·诺伊曼猜想

✍ dations ◷ 2025-02-24 05:21:19 #群论

群论中，汉娜·诺伊曼猜想是关于一个自由群的两个有限生成子群的交的秩，1957年由汉娜·诺伊曼提出。2011年伊戈尔·米涅耶夫（Igor Mineyev）和乔尔·弗里德曼（Joel Friedman）各自证明了这个猜想。

设, ≤ ()是自由群()的两个非平凡有限生成子群， = ∩ 为其交，这个猜想指

其中对群，rank()为其秩，即的生成集合的最小大小。按尼尔森－施赖埃尔（Nielsen-Schreier）定理，自由群的子群也都是自由群，而自由群的秩等于任一个自由基底的大小。

这个猜想的灵感来自Howson在1954年的一条定理。他证明了一个自由群的任何两个有限生成子群的交都是有限生成的，即是有有限秩。他并证明了若和是自由群()有限生成子群，其秩分别为 ≥ 1及 ≥ 1，那么 ∩ 的秩适合

汉娜·诺伊曼在一篇1956年的论文中，改进了上限

诺伊曼在1957年的附录中，把上限改进到

她又猜想上式右边去掉因数2也成立，这就是以其命名的猜想。

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