欧拉公式

欧拉公式（英语：Euler's formula，又称尤拉公式）是复分析领域的公式，它将三角函数与复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。欧拉公式提出，对任意实数 ${\displaystyle x}$ （英语：cosine plus i sine，余弦加 乘以正弦）。由于该公式在 ${\displaystyle x}$π 的不同倍数，而它的复对数可以保持不变。

1740年左右，欧拉把注意力从对数转向指数函数，得到了以他命名的欧拉公式。欧拉公式通过比较指数的级数展开和三角函数得到（其实此证法存在问题，原因见验证方法，但结论正确。），于1748年发表。

大约50年之后，卡斯帕尔·韦塞尔提出可以把复数视做复平面中的点。

对于任意实数${\displaystyle x}$，以下等式恒成立：

由此也可以推导出

当${\displaystyle x=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$时，欧拉公式的特殊形式为

首先，在复数域上对${\displaystyle e^x}$进行定义：

对于${\displaystyle a,b\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R},c=a+ib\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}}$，规定${\displaystyle e^c=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}(1+\frac{c}{n}{)}^n}$。

对复数的极坐标表示${\displaystyle w=u+iv=r(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+i\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$，有：

${\displaystyle r=\sqrt{u^2+v^2}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R},\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\arctan <!--\; \; -->(\frac{v}{u})\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}}$

且根据棣莫弗公式，${\displaystyle w^n=(u+iv{)}^n=r^n(\cos <!--\; \; -->n\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+i\sin <!--\; \; -->n\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$

从而有：

${\displaystyle (1+\frac{a+bi}{n}{)}^n=n=r_n(\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_n+i\sin <!--\; \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_n)}$

假设${\displaystyle n>|a|}$，则：

${\displaystyle r_n=\frac{n}{2},{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_n=n\arctan <!--\; \; -->\frac{\frac{b}{n}}{1+\frac{a}{n}}}$

从而有：

这一步骤用到 ${\displaystyle \ln <!--\; \; -->(1+x)\approx <!--\; \approx \; -->x}$（墨卡托级数）

即：

${\displaystyle \underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{r}_n=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{e}^{\ln <!--\; \; -->r_n}=e^a}$

又有：

从而可以证明：

${\displaystyle \underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}(1+\frac{a+bi}{n}{)}^n=e^a(\cos <!--\; \; -->b+i\sin <!--\; \; -->b)}$

即：

${\displaystyle e^{a+ib}=e^a(\cos <!--\; \; -->b+i\sin <!--\; \; -->b)}$

令${\displaystyle a=0}$，可得欧拉公式。

证毕。

在复分析领域，欧拉公式亦可以以函数的形式表示

并且一般定义域为${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}}$，值域为${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}}$（复平面上的所有单位向量）。

当一复数的模为1，其反函数就是辐角（arg函数）。

当${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$值为复数时，cis函数仍然是有效的，所以有些人可利用cis函数将欧拉公式推广到更复杂的版本。

由于${\displaystyle e^{i\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+i\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$且${\displaystyle e^{i\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+i\sin <!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$，则有

实部等于实部，虚部等于虚部，因此

这公式可以说明当 ${\displaystyle x}$ 为实数时，函数 ${\displaystyle e^{ix}}$ 可在复数平面描述一单位圆。且 ${\displaystyle x}$ 为此平面上一条连至原点的线与正实轴的交角。先前一个在复平面的复点只能用笛卡尔坐标系描述，欧拉公式在此提供复点至极坐标的变换

任何复数 ${\displaystyle z=x+yi}$ 皆可记为

在此