配丛

✍ dations ◷ 2025-07-08 17:16:42 #纤维丛,代数拓扑,微分几何,微分拓扑学

在数学中,带有结构群 (拓扑群)的纤维丛理论允许产生一个配丛(associated bundle)的操作,将丛的典型纤维由 1 变成 2,两者都是具有群 作用的拓扑空间。对具有结构群 的纤维丛 ,纤维在两个局部坐标系 αβ 交集上的转移函数(即上链)由一个 αβ 上 -值函数 αβ 给出。我们可以构造一个纤维丛 ′ 有同样的转移函数,但可能具有不同的纤维。

一个简单的例子来自莫比乌斯带,这里 是 2 阶循环群 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 为实数线 R {\displaystyle \mathbb {R} } 在它们上的作用(在每种情形,非单位元素作用为 x     x {\displaystyle x\ \rightarrow \ -x} 的补丁函数记下。配丛构造恰是观察到这个数据对 { 1 ,   1 } {\displaystyle \{-1,\ 1\}} 作用的丛, 作用在 上,变为相配的主丛(即以 为纤维的丛,考虑为作用在自身的平移)。然后,我们可由 1 经过主丛变为 2。由一个开覆盖数据表述的细节由下降的一种情形给出。

这一节是这样组织的:我们首先引入从一个给定的纤维丛,产生一个具有制定的纤维的配丛的一般程序。然后是当制定的纤维是关于这个群在自身上左作用的一个主齐性空间特例,得到了配主丛。如果另外,在主丛的纤维上给出了一个右作用,我们叙述如何利用纤维积构造任何配丛。

设 π : → 是拓扑空间 上一个纤维丛,带有结构群 及典型纤维 。由定义,有 在纤维 上一个左作用(作为变换群)。此外假设这个作用是有效的。存在 的一个由 的一个开覆盖 i,以及一族纤维映射

组成的局部平凡化,使得转移映射由 的元素给出。更确切地,存在连续函数 ij : (ij) → 使得

现在设 ′ 是一个制定的拓扑空间,装备有 的一个连续左作用。则相配于 、具有纤维 ′ 的丛是一个丛 ′ 具有从属于覆盖 i 其转移函数为:

这里 -值函数 ij() 与由原先的丛 的局部平凡化得到的相同。

这个定义显然遵守转移函数的上链条件,因为在每一种情形它们由同样 -值函数系统给出(使用另一个局部平凡化,如果有必要使用一般的加细过程,则 ij 通过相同的上边缘变换)。从而,由纤维丛构造定理(英语:fiber bundle construction theorem)(fiber bundle construction theorem),这样便产生了所要求的具有纤维 ′ 的纤维丛 ′ 。

和前面一样,假设 是一个具有结构群 的纤维丛。当 -左自由且传递作用于 ′ 的特例时,所以 ′ 是 在自身上左作用的一个主齐性空间,则相配的丛 ′ 称为相配于纤维丛 的主 -丛。如果此外新纤维 ′ 等同于 (从而 ′ 不仅有左作用也继承了 的一个右作用),则 在 ′ 上的右作用诱导了 在 ′ 上的右作用。通过选取等同化,′ 成为通常意义的主丛。注意,尽管没有典范的方式选取 的一个主齐性空间上的右作用,任何这样的作用将得出相同的具有结构群 的承载纤维丛(因为这是由 的左作用得到),而且作为 -空间在存在一个整体定义的 -值函数联系两者的意义下同构。

以这样方式,装备一个右作用的主 -丛通常视为确定具有结构群 的纤维丛的数据之一部分,因为对纤维丛我们可以由配丛构造法来建构主丛。在下一节中,我们经相反的道路利用一个纤维积得到任何纤维丛。

设 π : → 是一个主 -丛,令 ρ : → Homeo() 是 在空间 上一个连续左作用(在连续范畴中,我们需有光滑流形上一个光滑作用)。不失一般性,我们取作用是有效的(ker(ρ) = 1)。

在 × 上定义 的一个右作用为

然后我们将这个作用等化得到空间 = ×ρ = ( × ) /。将 (,) 的等价类记为 。注意到

由 πρ() = π(),定义投影映射 πρ : → 。注意这是良定义的。

那么 πρ : → 是一个纤维丛,具有纤维 与结构群 。转移函数由 ρ() 给出,这里 是主丛 的转移函数。

配丛的一个相伴的概念是一个 -丛 的结构群的约化。我们问是否存在一个 -丛 ,使得相配的 -丛是 (在同构的意义下)。更具体地,这是问 的转移数据能否一致的取值于 中。换句话说,我们要求确认相配丛映射的像(这其实是一个函子)。

向量丛的例子包括:引入一个度量导致结构群由一个一般线性群约化为正交群 O();一个实丛的复结构的存在性导致结构群由实一般线性群 GL(2,R) 约化为复线性群 GL(,C)。

另一个重要的情形实寻找一个秩 向量丛 的作为秩 与秩 子丛的惠特尼和(英语:Whitney sum)(Whitney sum),这将导致结构群由 GL(,R) 约化为 GL(,R) × GL(,R).

我们也能将叶状结构的条件表述为将切丛的结构群约化为分块矩阵子群——但这里约化只是必要条件,还有一个可积性条件使得弗罗贝尼乌斯定理可以使用。

相关

  • 圣日耳曼奥塞尔教堂圣日耳曼欧塞尔教堂(Saint-Germain-l'Auxerrois)位于巴黎卢浮宫广场2号,最近的地铁站是卢浮宫-里沃利。位于巴黎市中心,邻近塞纳河及卢浮宫,曾是法国国王的堂区,通常被视为是卢浮
  • 八正道八圣道分(巴利语:Ariyo aṭṭhaṅgiko maggo,梵语:Ārya aṣṭāṅga mārgaḥ),又译为八正道、八圣道、八支正道、八支圣道、八圣支道,佛教术语,是指佛教徒修行达到最高理想境地涅
  • 力量投射力量投射是一个用在政治学上的术语,指一个国家可以在远离本土的地方表现出武力和其他一些威胁。这种能力在国际关系是一个国家权力的重要组成成分。在军事上,与此类似的词是“
  • 王奕清王奕清(1664年-1737年),字幼芬,号拙园,清朝学者、政治人物。江南太仓(今属江苏省)人,祖籍山东莘县。出身名门,明内阁首辅王锡爵曾孙,王时敏之孙,颛菴王掞相国之子,家族簪缨辈出,有“一门两
  • 立陶宛人立陶宛人(Lithuanian)是波罗的人的一支。立陶宛人是立陶宛的主体民族,居住在立陶宛的立陶宛人略微超过300万。立陶宛人总数估计在400万到500万左右。除了立陶宛之外,在立陶宛的
  • 唐懿宗唐懿宗李漼(833年12月28日-873年8月15日),唐朝第20代皇帝(除去武则天),859年至873年在位,在位14年,终年41岁。李漼初名温,唐宣宗李忱的长子。宣宗病死后,被宦官迎立为帝,是为唐懿宗,改元
  • A20高速公路 (意大利)A20高速公路(意大利语:Autostrada A20)是意大利一条高速公路,自西西里岛东北部的墨西拿,沿该岛北岸往西,至布安福尔内洛与A19高速公路相连,至西北岸的巴勒莫止。全长183公里。1972
  • 安塞尔姆·加埃唐·德马雷安塞尔姆·加埃唐·德马雷(法语:Anselme Gaëtan Desmarest,1784年3月6日-1838年6月4日)是一位法国动物学家,其父亲是地质学家尼古拉斯·德马雷(Nicolas Desmarest),其子安塞尔姆·塞
  • 乔瓦尼·吉德提乔瓦尼·吉德提(Giovanni Guidetti,1972年9月20日-)是一名意大利排球教练,他自2008年起执教土耳其豪门瓦基弗银行女排俱乐部,带领球队成为世界令顶球队之一。他亦曾担任保加利亚女
  • 张伯伦 (外交官)张伯伦(1951年1月-),浙江诸暨人,中华人民共和国政治人物、外交官。2008年,接替张备三担任中华人民共和国驻安哥拉大使。2011年,由高克祥接任。