欧拉方程 (流体动力学)

在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维－斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程——包括能量方程——称为“欧拉方程”。

跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。

欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。

本条目假设经典力学适用；当可压缩流的速度接近光速时，详见相对论性欧拉方程。

第一份印有欧拉方程的出版物是欧拉的论文《流体运动的一般原理》（Principes généraux du mouvement des fluides），发表于1757年，刊载于《柏林科学院论文集》（Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin）。它们是最早被写下来的一批偏微分方程。在欧拉发表他的研究之时，方程组只有动量方程及连续性方程，因此只能完整描述非压缩性流体；在描述可压缩性流体时，会因条件不足而不能提供唯一解。在1816年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯添加了一条方程，第三条方程后来被称为绝热条件。

在十九世纪的后半期，科学家们发现，与能量守恒相关的方程在任何时间都得被遵守，而绝热条件则只会在有平滑解的情况下会被遵守，因为该条件是由平滑解时的基础定律所造成的后果。在发现了狭义相对论之后，能量密度、质量密度及应力这三个概念，被统一成应力-能量张量这一个概念；而能量及动量也同样被统一成一个概念——能量-动量张量。

以下是用微分形式写成的欧拉方程：

其中

第二条方程包含了一并矢积的散度，用下标标记（每一个j代表从1至3）表示会较易明白：

其中i及j下标各代表直角坐标系的三个分量：及。

注意以上方程是用守恒形式的，而守恒形式强调的是方程的物理起因（因此在计算流体力学中的电脑模拟上使用这种形式最方便）。而代表动量守恒的第二条方程可用非守恒形式表示：

但是在这个形式上，会比较看不出欧拉方程与牛顿第二运动定律的直接关联。

以下是用矢量及守恒形式写成的欧拉方程：

其中

在这个形式下，不难看出f、f及f是通量。

以上方程分别代表质量守恒、动量的三个分量及能量。里面有五条方程，六个未知数。封闭系统需要一条状态方程；最常用的是理想气体定律（即，其中为密度，为绝热指数，为内能）。

注意能量方程的奇特形式；见蓝金-雨果尼厄方程。附加含的项可被诠释成相邻的流体元对某流体元所作的机械功。在非压缩性流体中，这些附加项的总和为零。

取流线上欧拉方程的积分，假设密度不变，及状态方程具有足够的刚性，可得有名的伯努利定律。

在构建数值解，例如求雷曼问题的近似解的时候，展开通量可以是很重要的一环。使用上面以矢量表示的守恒形式方程，展开其通量可得非守恒形式如下：

其中A、A及A为通量雅可比矩阵，各矩阵为：

上式中这些通量雅可比矩阵A、A及A，还是状态矢量m的函数，因此这种形式的欧拉方程跟原方程一样，都是非线性方程。在状态矢量m平滑变动的区间内，这种非守恒形式跟原来守恒形式的欧拉方程是相同的。

将理想气体定律用作状态方程，可推导出完整的雅可比矩阵形式，矩阵如下：

方向的通量雅可比矩阵：

方向的通量雅可比矩阵：

其中${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}-<!--\; -\; -->1}$为：

及声速为：

将含通量雅可比矩阵的非守恒形式，在状态 = ₀的周围线性化后，可得线性化欧拉方程如下：

其中A 、A及A分别为A、A及A于某参考状态 = ₀的值。

如果弃用守恒变量而改用特征变量的话，欧拉方程可被变换成非耦合波方程。举例说，考虑以线性通量雅可比矩阵形式表示的一维（1-D）欧拉方程：

矩阵A可被对角化，即可将其分解成：

上式中，r、r及r为矩阵A的右特征矢量（若${\displaystyle A{x}_R={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_R{x}_R,}$为右特征矢量），而、及则为对应的特征值。

设特征变量为：

由于A不变，原来的一维通量雅可比矩阵方程，乘上P−1后可得：

经过这样的处理后，方程实际上已经被非耦合化，而且可被视作三条波方程，其中特征值为波速。变量_i为雷曼不变量，或在一般的双曲系统中为特征变量。

欧拉方程为非线性双曲方程，而它们的通解为波。与海浪一样，由欧拉方程所描述的波碎掉后，所谓的冲击波就会形成；这是一种非线性效应，所以其解为多值函数（即函数内的某自变量会产生多个因变量）。物理上这代表构建微分方程时所用的假设已经崩溃，如果要从方程上取得更多信息，就必须回到更基础的积分形式。然后，在构建弱解时，需要使用蓝金-雨果尼厄冲击波条件，在流动的物理量中避开不连续点“跳跃”，上述物理量有密度、速度、压强及熵。物理量很少会出现不连续性；在现实的流动中，黏性会把这些不连续点平滑化。

许多领域都有研究冲击波的传播，尤其是出现流动处于足够高速的领域，例如空气动力学及火箭推进。

在某些问题中，特别是分析导管中的可压缩流，或是当流动呈圆柱或球状对称的时候，一维欧拉方程都是很有用的近似法。一般来说，解欧拉方程会用到黎曼的特征线法。首先需要找出特征线，这条曲线位于两个独立变量（即及）所构成的平面上，在这条线上偏微分方程（PDE）会退化成常微分方程（ODE）。欧拉方程的数值解法非常倚赖特征线法。