悬链线

悬链线是一种常用曲线，物理上用于描绘悬在水平两点间的因均匀引力作用下的软绳的形状，因此而得名。它的公式为：其中cosh是双曲余弦函数， a {displaystyle a} 是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数， x {displaystyle x} 轴为其准线。具体来说， a = T 0 g λ {displaystyle a={frac {T_{0}}{glambda }}} ，其中 g {displaystyle g} 是重力加速度， λ {displaystyle lambda } 是线密度（假设绳子密度均匀），而 T 0 {displaystyle T_{0}} 是绳子上每一点处张力的水平分量，它取决于绳子的悬挂方式；若绳子两端在同一水平面上，则下面的方程决定了 a {displaystyle a}其中L是绳子总长的一半，d是端点距离的一半。表达式的证明如右图，设最低点 A {displaystyle A} 处受水平向左的拉力 H {displaystyle H} ，右悬挂点处表示为 C {displaystyle C} 点，在 A C {displaystyle AC} 弧线区段任意取一段设为 B {displaystyle B} 点，则 A B {displaystyle AB} 受一个斜向上的拉力 T {displaystyle T} ，设 T {displaystyle T} 和水平方向夹角为 θ {displaystyle theta } ，绳子的质量为 m {displaystyle m} ,受力分析有：T sin ⁡ θ = m g {displaystyle Tsin theta =mg} ；T cos ⁡ θ = H {displaystyle Tcos theta =H} ，tan ⁡ θ = d y d x = m g H {displaystyle tan theta ={frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}={frac {mg}{H}}} ，m g = ρ s {displaystyle mg=rho s} ，　其中 s {displaystyle s} 是右段 A B {displaystyle AB} 绳子的长度， ρ {displaystyle rho } 是绳子线重量密度， tan ⁡ θ {displaystyle tan theta } 为切线方向，记 a = ρ H {displaystyle a={frac {rho }{H}}} , 代入得微分方程 d y d x = a s {displaystyle {frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}=as} ;利用弧长公式 d s = 1 + d y 2 d x 2 d x {displaystyle mathrm {d} s={sqrt {1+{dfrac {mathrm {d} y^{2}}{mathrm {d} x^{2}}}}}mathrm {d} x} ;所以 s = ∫ 1 + d y 2 d x 2 d x {displaystyle s=int {sqrt {1+{dfrac {mathrm {d} y^{2}}{mathrm {d} x^{2}}}}}mathrm {d} x} ;再把 s {displaystyle s} 代入微分方程得 d y d x = a ∫ 1 + d y 2 d x 2 d x   ⋯ ⋯   ( 1 ) {displaystyle {frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}=aint {sqrt {1+{frac {mathrm {d} y^{2}}{mathrm {d} x^{2}}}}}{mathrm {d} x} cdots cdots (1)}对于 ( 1 ) {displaystyle (1)} 设 p = d y d x {displaystyle p={frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}} 微分处理得 p ′ = ρ H 1 + p 2   ⋯ ⋯   ( 2 ) {displaystyle p'={frac {rho }{H}}{sqrt {1+p^{2}}} cdots cdots (2)}其中 p ′ = d p d x = d 2 y d x 2 {displaystyle p'={frac {mathrm {d} p}{mathrm {d} x}}={frac {mathrm {d} ^{2}y}{mathrm {d} x^{2}}}} ;对(2)分离常量求积分∫ d p 1 + p 2 = ∫ a d x {displaystyle int {frac {dp}{sqrt {1+p^{2}}}}=int adx}得 l n ( p + 1 + p 2 ) = a x + C {displaystyle ln(p+{sqrt {1+p^{2}}})=ax+C} ，即 a r s i n h p = a x + C {displaystyle mathrm {arsinh} p=ax+C}其中 a r s i n h p {displaystyle mathrm {arsinh} p} 为反双曲函数;当 x = 0 {displaystyle x=0} 时， d y d x = p = 0 {displaystyle {frac {dy}{dx}}=p=0} ；带入得 C = 0 {displaystyle C=0} ；整理得 a r s i n h p = ρ x H {displaystyle mathrm {arsinh} p={frac {rho x}{H}}} .悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到悬链线的原理。 在工程中有一种应用， a {displaystyle a} 称作悬链系数。如果我们改变公式的写法，会给工程应用带来很大帮助，公式及图像如下：还有以下几个公式，可能也有用：其中 L {displaystyle L} 是曲线中某点到0点的链索长度， α {displaystyle alpha } 是该点的正切角， F 0 {displaystyle F_{0}} 是0点处的水平张力， γ {displaystyle gamma } 是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。