特殊函数的渐近展开式

特殊函数的渐近展开式

${\displaystyle AngerJ(3,x)\approx <!--\; \approx \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->cos(x+(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->Pi)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}1/x)/\sqrt{(}Pi)-<!--\; -\; -->(35/8)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->cos(x-<!--\; -\; -->(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->Pi)\ast <!--\; \ast \; -->(1/x{)}^{(}3/2)/\sqrt{(}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})-<!--\; -\; -->(945/128)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->cos(x+(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})\ast <!--\; \ast \; -->(1/x{)}^{(}5/2)/\sqrt{(}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})+O((1/x{)}^{(}7/2))}$

${\displaystyle AiryAi(z)\approx <!--\; \approx \; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->exp(-<!--\; -\; -->(2/3)\ast <!--\; \ast \; -->z^{(}3/2))\ast <!--\; \ast \; -->(1/z{)}^{(}1/4)/\sqrt{(}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})-<!--\; -\; -->(5/96)\ast <!--\; \ast \; -->exp(-<!--\; -\; -->(2/3)\ast <!--\; \ast \; -->z^{(}3/2))\ast <!--\; \ast \; -->(1/z{)}^{(}7/4)/\sqrt{(}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})+(385/9216)\ast <!--\; \ast \; -->exp(-<!--\; -\; -->(2/3)\ast <!--\; \ast \; -->z^{(}3/2))\ast <!--\; \ast \; -->(1/z{)}^{(}13/4)/\sqrt{(}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})+O((1/z{)}^{(}19/4))}$

${\displaystyle BesselI(3,x)\approx <!--\; \approx \; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->exp(x)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(1/x)/sqrt(Pi)-<!--\; -\; -->(35/16)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->exp(x)\ast <!--\; \ast \; -->(1/x{)}^{(}3/2)/sqrt(Pi)+(945/256)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->exp(x)\ast <!--\; \ast \; -->(1/x{)}^{(}5/2)/sqrt(Pi)-<!--\; -\; -->(3465/2048)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->exp(x)\ast <!--\; \ast \; -->(1/x{)}^{(}7/2)/sqrt(Pi)-<!--\; -\; -->(45045/65536)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->exp(x)\ast <!--\; \ast \; -->(1/x{)}^{(}9/2)/sqrt(Pi)+O((1/x{)}^{(}11/2))}$

${\displaystyle BesselJ(3,x)\approx <!--\; \approx \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->cos(x+(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->Pi)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}1/x)/\sqrt{(}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})-<!--\; -\; -->(35/8)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->cos(x-<!--\; -\; -->(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})\ast <!--\; \ast \; -->(1/x{)}^{(}3/2)/\sqrt{(}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})-<!--\; -\; -->(945/128)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->cos(x+(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})\ast <!--\; \ast \; -->(1/x{)}^{(}5/2)/\sqrt{(}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})+(3465/1024)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->cos(x-<!--\; -\; -->(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})\ast <!--\; \ast \; -->(1/x{)}^{(}7/2)/\sqrt{(}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})-<!--\; -\; -->(45045/32768)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->cos(x+(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})\ast <!--\; \ast \; -->(1/x{)}^{(}9/2)/\sqrt{(}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})+O((1/x{)}^{(}11/2))}$

${\displaystyle BesselK(3,)\approx <!--\; \approx \; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(Pi)\ast <!--\; \ast \; -->exp(-<!--\; -\; -->x)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(1/x)+(35/16)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(Pi)\ast <!--\; \ast \; -->exp(-<!--\; -\; -->x)\ast <!--\; \ast \; -->(1/x{)}^{(}3/2)+(945/256)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(Pi)\ast <!--\; \ast \; -->exp(-<!--\; -\; -->x)\ast <!--\; \ast \; -->(1/x{)}^{(}5/2)+(3465/2048)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(Pi)\ast <!--\; \ast \; -->exp(-<!--\; -\; -->x)\ast <!--\; \ast \; -->(1/x{)}^{(}7/2)-<!--\; -\; -->(45045/65536)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(Pi)\ast <!--\; \ast \; -->exp(-<!--\; -\; -->x)\ast <!--\; \ast \; -->(1/x{)}^{(}9/2)+O((1/x{)}^{(}11/2))}$

${\displaystyle BesselY(3,x),\approx <!--\; \approx \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->cos(x-<!--\; -\; -->(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->Pi)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(1/x)/sqrt(Pi)+(35/8)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->cos(x+(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->Pi)\ast <!--\; \ast \; -->(1/x{)}^{(}3/2)/sqrt(Pi)-<!--\; -\; -->(945/128)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->cos(x-<!--\; -\; -->(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->Pi)\ast <!--\; \ast \; -->(1/x{)}^{(}5/2)/sqrt(Pi)-<!--\; -\; -->(3465/1024)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->cos(x+(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->Pi)\ast <!--\; \ast \; -->(1/x{)}^{(}7/2)/sqrt(Pi)-<!--\; -\; -->(45045/32768)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->cos(x-<!--\; -\; -->(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->Pi)\ast <!--\; \ast \; -->(1/x{)}^{(}9/2)/sqrt(Pi)+O((1/x{)}^{(}11/2))}$${\displaystyle \mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(z)\approx <!--\; \approx \; -->(ln(z)-<!--\; -\; -->1)\ast <!--\; \ast \; -->z+ln(\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}))-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->ln(z)+1/(12\ast <!--\; \ast \; -->z)-<!--\; -\; -->1/(360\ast <!--\; \ast \; -->z^3)+1/(1260\ast <!--\; \ast \; -->z^5)-<!--\; -\; -->1/(1680\ast <!--\; \ast \; -->z^7)+O(1/z^9)}$误差函数

斐涅尔函数${\displaystyle FresnelC(x)\approx <!--\; \approx \; -->1/2+sin((1/2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->x^2)/(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->x)-<!--\; -\; -->cos((1/2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->x^2)/({\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2\ast <!--\; \ast \; -->x^3)-<!--\; -\; -->3\ast <!--\; \ast \; -->sin((1/2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->x^2)/({\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^3\ast <!--\; \ast \; -->x^5)+15\ast <!--\; \ast \; -->cos((1/2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->x^2)/({\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^4\ast <!--\; \ast \; -->x^7)+105\ast <!--\; \ast \; -->sin((1/2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->x^2)/({\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^5\ast <!--\; \ast \; -->x^9)}$