科恩系列分布

科恩系列分布（Cohen's class distribution）于1966年由L. Cohen首次提出，且其使用双线性转换亦是此种转换形式中最通用的一种。在几种常见的时频分布中，Cohen's class分布是最强大的转换之一。随着近几年来时频分析发展，应用也越来越多元。Cohen's class分布和短时距傅里叶变换比较起来有较高的清晰度，但也相对的有交叉项(cross-term)的问题，不过可选择适当的遮罩函数(mask function)来将交叉项的问题降到最低。

模糊函数的定义为：

我们来看一下 ${\displaystyle x(t)}$ 对于模糊函数的影响

(1) 假设 ${\displaystyle x_1(t)}$ 是一个高斯函数: ${\displaystyle a{e}^{-<!--\; -\; -->(t-<!--\; -\; -->b{)}^2/2c^2}}$, 其中 ${\displaystyle a=1,b=0,c=\sqrt{\frac{1}{2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}}$

那么我们可以得到 ${\displaystyle x_1(t)=e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{t}^2}}$, 代入模糊函数 ${\displaystyle A_x\left(\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)}$ 中：

(2) 假设 ${\displaystyle x_2(t)}$ 是一个经过 shifting 和 modulation 的高斯函数:

那么我们可以得到 ${\displaystyle x_2(t)=e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(t-<!--\; -\; -->t_0{)}^2+j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}_{0}t}}$, 代入模糊函数 ${\displaystyle A_x\left(\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)}$ 中：

我们可以看到 ${\displaystyle |A_{x_1}\left(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\right)|=|A_{x_2}\left(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\right)|}$,

因此我们可以得出 time shifting ${\displaystyle t_0}$ 和 modulation ${\displaystyle f_0}$ 并不会影响 ${\displaystyle |A_x\left(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\right)|}$

积分后，${\displaystyle A_x\left(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\right)=\sqrt{\frac{1}{2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2}{2}+\frac{{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^2}{2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})}{e}^{j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(f_0\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}-<!--\; -\; -->t_0\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})}}$

所以 ${\displaystyle A_x\left(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\right)}$ 在 ${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=0,\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}=0}$ 的地方会有最大的 ${\displaystyle |A_x\left(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\right)|}$

上述所列出来的是当 ${\displaystyle x(t)}$ 只有一项而已 (one term only)，如果 ${\displaystyle x(t)}$ 有两项以上的元素构成 (more than two terms), ${\displaystyle x(t)=x_1(t)+x_2(t)+\cdot <!--\; \cdot \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->+x_n(t)}$，依然会有交叉项 (cross-term) 的问题存在。

假设 ${\displaystyle x(t)=x_1(t)+x_2(t)}$ , 其中

将 ${\displaystyle x(t)}$ 代入模糊函数 ${\displaystyle A_x\left(\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\right)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}x(t+\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{2})x^{\ast <!--\; \ast \; -->}(t-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{2})e^{-<!--\; -\; -->j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}t\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}dt}$ 中：

(1) ${\displaystyle {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1\ne <!--\; \ne \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2}$

(2) ${\displaystyle {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2}$

因此，我们目前得到 ${\displaystyle A_{x_1}\left(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\right),A_{x_2}\left(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\right)}$ (auto-terms) 和 ${\displaystyle A_{x_1{x}_2}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}),A_{x_2{x}_1}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})}$ (cross-terms) 的公式，我们再仔细的分析 auto-terms 和 cross-terms 分别发生最大值的位置。

首先，先看 Auto-terms：

而 Cross-terms：

换句话说，如果我们绘制一个 x轴为 ${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$, y轴为 ${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$ 的座标图，Auto-terms发生在原点 ${\displaystyle (0,0)}$ 的位置，而 Cross-terms 则是以原点为对称中心，在第一象限和第三象限的位置，

这也是为什么可以透过一个低通函数来滤除噪声，把主成分 Auto-terms 分离出来，避免交叉项的问题。

维格纳分布是由尤金·维格纳于 1932 年提出的新的时频分析方法，对于非稳态的讯号有不错的表现。

相较于傅里叶转换或是短时距傅里叶转换，维格纳分布能有比较好的解析能力。

维格纳分布的定义为:

如果我们假设 ${\displaystyle x(t)}$ 是一个具有弦波特性的讯号, ${\displaystyle x(t)=e^{j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}_{0}t}}$

那么将此 ${\displaystyle x(t)}$ 代入维格纳分布中，

所以当 ${\displaystyle x(t)=e^{j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{f}_{0}t}}$ 时，${\displaystyle W_x(t,f)}$ 在 ${\displaystyle f=f_0}$ 的地方会有最大值。

换句话说，当 ${\displaystyle x(t)}$有 modulation ${\displaystyle f_0}$ 或是有 time shifting ${\displaystyle t_0}$ 的情况发生时，会影响维格纳分布 (Wigner Distribution Function) 最大值 ${\displaystyle |W_x(t,f)|}$ 的位置

然而，对于科恩系列分布 (Cohen's class distribution)而言，time shifting ${\displaystyle t_0}$ 和 modulation ${\displaystyle f_0}$ 并不会影响 ${\displaystyle |A_x\left(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\right)|}$