合成列

在抽象代数中。合成列是借着将代数对象（如群、模等等）拆解为简单的成分，以萃取不变量的方式之一。以模为例，一般环上的模未必能表成单模的直和。但是我们可退而求其次，考虑一组过滤 ${\displaystyle \{0\}=M_0\subset <!--\; \subset \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\subset <!--\; \subset \; -->M_n=M}$，使每个子商 ${\displaystyle M_i/M_{i+1}}$ 皆为单模；这些单模称为合成因子，${\displaystyle n}$ 称为合成长度，都是 ${\displaystyle M}$ 的不变量。亦可考虑 ${\displaystyle M}$ 的子模范畴 ${\displaystyle \mathcal{A}}$，此时 ${\displaystyle \in <!--\; \in \; -->K(\mathcal{A})}$ 可唯一表为合成因子之和；在此意义下，K-群提供了模的半单化。

合成列未必存在，即使存在也未必唯一。然而若尔当-赫尔德定理断言：若一对象有合成列，则子商的同构类是唯一确定的，至多差一个排列。因此，合成列给出有限群或阿廷模的不变量。

设 ${\displaystyle G}$ 为群，${\displaystyle G}$ 的合成列是对应于一族子群

满足 ${\displaystyle H_i◃<!--\; ◃\; -->H_{i+1}}$，使其子商 ${\displaystyle H_{i+1}/H_i}$ 皆为非平凡的单群；易言之，${\displaystyle H_i}$ 是 ${\displaystyle H_{i+1}}$ 的极大正规子群。这些子商也称作合成因子。对于有限群，恒存在合成列。

固定环 ${\displaystyle R}$ 及 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M}$。${\displaystyle M}$ 的合成列是一族子模

其中每个子商 ${\displaystyle J_{k+1}/J_k}$ 皆为非平凡的单模 。易言之，${\displaystyle J_k}$ 是 ${\displaystyle J_{k+1}}$ 的极大子模。这些子商也称为合成因子。若 ${\displaystyle R}$ 是阿廷环，根据 Hopkins-Levitzki 定理，任何有限生成的 ${\displaystyle R}$-模皆有合成列。

例子. 考虑 12 阶循环群 ${\displaystyle C_{12}}$，它具有三个相异的合成列

合成因子分别为

其间仅差个排列。

略证：以下仅处理模的情形，群的情形可依此类推。假设存在两个合成列

对 ${\displaystyle \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(r,s)}$ 行数学归纳法。若 ${\displaystyle \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(r,s)=0}$ 则 ${\displaystyle M=0}$，若 ${\displaystyle \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(r,s)=1}$ 则 ${\displaystyle M}$ 是单模。以下假定 ${\displaystyle r,s\ge <!--\; \ge \; -->2}$。

若 ${\displaystyle M_{r-<!--\; -\; -->1}=M_{s-<!--\; -\; -->1}}$，据归纳法假设，${\displaystyle r-<!--\; -\; -->1=s-<!--\; -\; -->1}$ 且 ${\displaystyle M_{i+1}/M_i}$ 与 ${\displaystyle M_{i+1}^{\prime }/M_i^{\prime }}$（${\displaystyle 0\le <!--\; \le \; -->i\le <!--\; \le \; -->r-<!--\; -\; -->2}$）之间仅差排列。此外 ${\displaystyle M/M_{r-<!--\; -\; -->1}=M_{/}{M}_{s-<!--\; -\; -->1}^{\prime }}$，故定理成立。

设 ${\displaystyle M_{r-<!--\; -\; -->1}\ne <!--\; \ne \; -->M_{s-<!--\; -\; -->1}^{\prime }}$。此时必有 ${\displaystyle M_{r-<!--\; -\; -->1}+M_{s-<!--\; -\; -->1}^{\prime }=M}$。置 ${\displaystyle N:=M_{r-<!--\; -\; -->1}\cap <!--\; \cap \; -->M_{s-<!--\; -\; -->1}^{\prime }}$，于是

取 ${\displaystyle N}$ 的合成列 ${\displaystyle \{0\}=K_0\subset <!--\; \subset \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\subset <!--\; \subset \; -->K_t=N}$，依上式知

皆为合成列，其合成因子仅差个换位。根据归纳法假设，若同删去尾项 ${\displaystyle M}$，则 (*) 与 (**) 的合成因子分别等同于合成列 ${\displaystyle M_{\bullet <!--\; \bullet \; -->},M_{\bullet <!--\; \bullet \; -->}^{\prime }}$ 的合成因子，至多差个排列。是故定理得证。