合成列

✍ dations ◷ 2025-07-25 10:59:23 #群论,模论

在抽象代数中。合成列是借着将代数对象(如群、模等等)拆解为简单的成分,以萃取不变量的方式之一。以模为例,一般环上的模未必能表成单模的直和。但是我们可退而求其次,考虑一组过滤 { 0 } = M 0 M n = M {\displaystyle \{0\}=M_{0}\subset \cdots \subset M_{n}=M} ,使每个子商 M i / M i + 1 {\displaystyle M_{i}/M_{i+1}} 皆为单模;这些单模称为合成因子, n {\displaystyle n} 称为合成长度,都是 M {\displaystyle M} 的不变量。亦可考虑 M {\displaystyle M} 的子模范畴 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} ,此时 K ( A ) {\displaystyle \in K({\mathcal {A}})} 可唯一表为合成因子之和;在此意义下,K-群提供了模的半单化。

合成列未必存在,即使存在也未必唯一。然而若尔当-赫尔德定理断言:若一对象有合成列,则子商的同构类是唯一确定的,至多差一个排列。因此,合成列给出有限群或阿廷模的不变量。

G {\displaystyle G} 为群, G {\displaystyle G} 的合成列是对应于一族子群

满足 H i H i + 1 {\displaystyle H_{i}\triangleleft H_{i+1}} ,使其子商 H i + 1 / H i {\displaystyle H_{i+1}/H_{i}} 皆为非平凡的单群;易言之, H i {\displaystyle H_{i}} H i + 1 {\displaystyle H_{i+1}} 的极大正规子群。这些子商也称作合成因子。对于有限群,恒存在合成列。

固定环 R {\displaystyle R} R {\displaystyle R} -模 M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} 的合成列是一族子模

其中每个子商 J k + 1 / J k {\displaystyle J_{k+1}/J_{k}} 皆为非平凡的单模 。易言之, J k {\displaystyle J_{k}} J k + 1 {\displaystyle J_{k+1}} 的极大子模。这些子商也称为合成因子。若 R {\displaystyle R} 是阿廷环,根据 Hopkins-Levitzki 定理,任何有限生成的 R {\displaystyle R} -模皆有合成列。

例子. 考虑 12 阶循环群 C 12 {\displaystyle C_{12}} ,它具有三个相异的合成列

合成因子分别为

其间仅差个排列。

略证:以下仅处理模的情形,群的情形可依此类推。假设存在两个合成列

m i n ( r , s ) {\displaystyle \mathrm {min} (r,s)} 行数学归纳法。若 m i n ( r , s ) = 0 {\displaystyle \mathrm {min} (r,s)=0} M = 0 {\displaystyle M=0} ,若 m i n ( r , s ) = 1 {\displaystyle \mathrm {min} (r,s)=1} M {\displaystyle M} 是单模。以下假定 r , s 2 {\displaystyle r,s\geq 2}

M r 1 = M s 1 {\displaystyle M_{r-1}=M_{s-1}} ,据归纳法假设, r 1 = s 1 {\displaystyle r-1=s-1} M i + 1 / M i {\displaystyle M_{i+1}/M_{i}} M i + 1 / M i {\displaystyle M'_{i+1}/M'_{i}} 0 i r 2 {\displaystyle 0\leq i\leq r-2} )之间仅差排列。此外 M / M r 1 = M / M s 1 {\displaystyle M/M_{r-1}=M_{/}M'_{s-1}} ,故定理成立。

M r 1 M s 1 {\displaystyle M_{r-1}\neq M'_{s-1}} 。此时必有 M r 1 + M s 1 = M {\displaystyle M_{r-1}+M'_{s-1}=M} 。置 N := M r 1 M s 1 {\displaystyle N:=M_{r-1}\cap M'_{s-1}} ,于是

N {\displaystyle N} 的合成列 { 0 } = K 0 K t = N {\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N} ,依上式知

皆为合成列,其合成因子仅差个换位。根据归纳法假设,若同删去尾项 M {\displaystyle M} ,则 (*) 与 (**) 的合成因子分别等同于合成列 M , M {\displaystyle M_{\bullet },M'_{\bullet }} 的合成因子,至多差个排列。是故定理得证。

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