麦克斯韦-玻尔兹曼分布

麦克斯韦-玻尔兹曼分布是一个描述一定温度下微观粒子运动速度的概率分布，在物理学和化学中有应用。最常见的应用是统计力学的领域。任何（宏观）物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其它粒子的碰撞而不断变化。然而，对于大量粒子来说，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例却几乎不变，如果系统处于或接近处于平衡。麦克斯韦-玻尔兹曼分布具体说明了这个比例，对于任何速度范围，作为系统的温度的函数。它以詹姆斯·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼命名。

这个分布可以视为一个三维矢量的大小，它的分量是独立和正态分布的，其期望值为0，标准差为${\displaystyle a}$是平衡温度时，处于状态 的粒子数目，具有能量 和简并度 ， 是系统中的总粒子数目，是玻尔兹曼常数。（注意有时在上面的方程中不写出简并度。在这个情况下，指标将指定了一个单态，而不是具有相同能量的的多重态。）由于速度和速率与能量有关，因此方程1可以用来推出气体的温度和分子的速度之间的关系。这个方程中的分母称为正则配分函数。

下列所述的推导，与詹姆斯·克拉克·麦克斯韦描述的推导和后来由路德维希·玻尔兹曼描述的具有较少假设的推导都有很大不同。它与玻尔兹曼在1877年的探讨比较接近。

对于“理想气体”（由基态的非相互作用原子所组成）的情况，所有能量都是动能的形式。宏观粒子的动能与动量的关系为：

其中2是动量矢量p = 的平方。因此，我们可以把方程1写成：

其中是配分函数，对应于方程1中的分母。在这里，是气体的分子质量，是热力学温度，是玻尔兹曼常数。这个_i/的分布与找到具有这些动量分量值的分子的概率密度函数_p成正比，因此：

归一化常数可以通过认识到分子具有动量的概率必须为1来决定。因此，方程4在所有、和上的积分必须是1。

可以证明：

把方程5代入方程4，得出：

可以看出，这个分布是三个独立、呈正态分布的变量${\displaystyle p_x}$² = 2，以及动量的大小的分布函数（参见以下速率分布的章节），我们便得出能量的分布：

由于能量与三个呈正态分布的动量分量的平方和成正比，因此这个分布是具有三个自由度的卡方分布：

其中

麦克斯韦-玻尔兹曼分布还可以通过把气体视为量子气体来获得。

认识到速度的概率密度函数_v与动量的概率密度函数成正比：

并利用p = mv，我们便得到：

这就是麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布。在速度相空间（, , ）的一块无穷小区域内找到具有特定速度v = 的气体分子的几率为

像动量一样，这个分布是三个独立、呈正态分布的变量${\displaystyle v_x}$, , ]，麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布是三个方向上的分布的乘积：

其中一个方向上的分布为：

这个分布具有正态分布的形式，其方差为${\displaystyle \frac{kT}{m}}$定义为：

注意：在这个方程中，f(v)的单位是概率每速率，或仅仅是速率的倒数，如右图那样。

由于速率是三个独立、呈正态分布的速度分量的平方之和的平方根，因此这个分布是麦克斯韦-玻尔兹曼分布。

我们通常更感兴趣于粒子的平均速率，而不是它们的实际分布。平均速率、最概然速率（众数），以及均方根速率可以从麦克斯韦-玻尔兹曼分布的性质获得。

虽然以上的方程给出了速率的分布，或具有特定速率的分子的比例，我们通常更感兴趣于粒子的平均速率，而不是它们的实际分布。

最概然速率，是系统中任何分子最有可能具有的速率，对应于()的最大值或众数。要把它求出来，我们计算/，设它为零，然后对求解：

得出：

其中是气体常数， = 是物质的摩尔质量。

对于室温（300K）下的氮气（空气的主要成分），可得${\displaystyle v_p=422}$_rms是速率的平方的平均值的平方根：

它们具有以下的关系：

马克斯威-玻尔兹曼速率分布也可直接由气体速率均向性以及分离变数的假设以微分方程计算得到指数函数之形式，微分方程解的未定数项则由粒子总数以及方均根速率和玻尔兹曼常数的气体动力论关系两者联立得解.详见外部链接.

当气体越来越热时，趋于或超过，这个相对论麦克斯韦气体的速率分布由Maxwell-Juttner分布给出：:

其中${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{v}{c},}$ ${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\frac{1}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2}},}$ ${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\frac{kT}{m{c}^2},}$和${\displaystyle K_2}$是第二类变形贝塞尔函数。