双曲线

在数学中，双曲线（英语：hyperbola；希腊语：ὑπερβολή，意思是超过、超出）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点（称为焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是 a {displaystyle a} 的两倍，这里的 a {displaystyle a} 是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。 a {displaystyle a} 还称为双曲线的半实轴。焦点位于贯轴上，它们的中间点称为中心。从代数上说，双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线使得 B 2 > 4 A C {displaystyle B^{2}>4AC} ，这里的所有系数都是实数，并存在定义在双曲线上的点对 ( x , y ) {displaystyle (x,y)} 的多于一个的解。注意在笛卡尔坐标平面上两个互为倒数的变量的图像是双曲线。前两个上面已经列出了：双曲线由分开两个焦点的两个分离的称为臂或分支的曲线构成。随着到焦点的距离的变大，双曲线就越逼近称为渐近线的两条线。渐近线交叉于双曲线的中点，并对于东西开口的双曲线有斜率 ± b a {displaystyle pm {frac {b}{a}}} ，对于北南开口的双曲线有斜率 ± a b {displaystyle pm {frac {a}{b}}} 。双曲线有个性质，出自一个焦点的射线反射于双曲线后看起来像是出自另一个焦点。双曲线的一个特殊情况是“等轴”或“直角”双曲线，它的渐近线交于直角。以坐标轴作为渐近线的直角双曲线由方程 x y = c {displaystyle xy=c} 给出，这里的 c {displaystyle c} 是常数。如果对双曲线方程交换 x {displaystyle x} 和 y {displaystyle y} ，得到它的共轭双曲线。共轭双曲线有同样的渐近线。中心位于 ( h , k ) {displaystyle (h,k)} 的左右开口的双曲线：中心位于 ( h , k ) {displaystyle (h,k)} 的上下开口的双曲线：实轴贯穿双曲线的中心并交双曲线两臂于它们的顶点（拐点）。焦点位于双曲线实轴的延长线上。虚轴贯穿双曲线中点并垂直于实轴。在两个公式中， a {displaystyle a} 是半实轴（在双曲线两臂之间沿着实轴测量的距离），而 b {displaystyle b} 是半虚轴。如果用双曲线的两个顶点的切线交渐近线形成一个矩形，在切线上的两边的长度是 2 b {displaystyle 2b} ，平行于实轴的两边的长度是 2 a {displaystyle 2a} ，注意 b {displaystyle b} 可以大于 a {displaystyle a} 。如果计算从双曲线上任意准线上的点到每个焦点的距离，这两个距离的差的绝对值总是 2 a {displaystyle 2a} 。离心率给出自：左右开口的双曲线的焦点是： ( h ± c , k ) {displaystyle left(hpm c,kright)} ，其中c给出自 c 2 = a 2 + b 2 {displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}} 。上下开口的双曲线的焦点是： ( h , k ± c ) {displaystyle left(h,kpm cright)} ，其中c给出自 c 2 = a 2 + b 2 {displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}} 。对于以直线 x = h {displaystyle x=h} 和直线 y = k {displaystyle y=k} 为渐近线的直角双曲线：这种双曲线最简单的例子是：左右开口的双曲线：上下开口的双曲线：上右下左开口的双曲线：上左下右开口的双曲线：在所有公式中，中心在极点，而 a {displaystyle a} 是半实轴和半虚轴。如同正弦和余弦函数给出椭圆的参数方程，双曲函数给出双曲线的参数方程。 左右开口的双曲线：或上下开口的双曲线：或在所有公式中， ( h , k ) {displaystyle (h,k)} 是双曲线的中点， a {displaystyle a} 是半实轴而 b {displaystyle b} 是半虚轴。焦点在 x {displaystyle x} 轴： x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}-{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}焦点在 y {displaystyle y} 轴： y 2 a 2 − x 2 b 2 = 1 {displaystyle {frac {y^{2}}{a^{2}}}-{frac {x^{2}}{b^{2}}}=1}焦线平行于 x {displaystyle x} 轴： y = ± b a x {displaystyle y=pm {frac {b}{a}}x}焦线平行于 y {displaystyle y} 轴： y = ± a b x {displaystyle y=pm {frac {a}{b}}x}ρ = e p 1 + e cos ⁡ θ {displaystyle rho ={frac {ep}{1+ecos theta }}}当 e > 1 {displaystyle e>1} 时，表示双曲线。其中 p {displaystyle p} 为焦点到准线距离， θ {displaystyle theta } 为弦与 x {displaystyle x} 轴夹角。