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				双曲线
✍ dations ◷ 2025-11-04 21:14:15 #双曲线
				在数学中,双曲线(英语:hyperbola;希腊语:ὑπερβολή,意思是超过、超出)是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点(称为焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是
  
    
      
        a
      
    
    {displaystyle a}
  
的两倍,这里的
  
    
      
        a
      
    
    {displaystyle a}
  
是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。
  
    
      
        a
      
    
    {displaystyle a}
  
还称为双曲线的半实轴。焦点位于贯轴上,它们的中间点称为中心。从代数上说,双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线使得
  
    
      
        
          B
          
            2
          
        
        >
        4
        A
        C
      
    
    {displaystyle B^{2}>4AC}
  
,这里的所有系数都是实数,并存在定义在双曲线上的点对
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {displaystyle (x,y)}
  
的多于一个的解。注意在笛卡尔坐标平面上两个互为倒数的变量的图像是双曲线。前两个上面已经列出了:双曲线由分开两个焦点的两个分离的称为臂或分支的曲线构成。随着到焦点的距离的变大,双曲线就越逼近称为渐近线的两条线。渐近线交叉于双曲线的中点,并对于东西开口的双曲线有斜率
  
    
      
        ±
        
          
            b
            a
          
        
      
    
    {displaystyle pm {frac {b}{a}}}
  
,对于北南开口的双曲线有斜率
  
    
      
        ±
        
          
            a
            b
          
        
      
    
    {displaystyle pm {frac {a}{b}}}
  
。双曲线有个性质,出自一个焦点的射线反射于双曲线后看起来像是出自另一个焦点。双曲线的一个特殊情况是“等轴”或“直角”双曲线,它的渐近线交于直角。以坐标轴作为渐近线的直角双曲线由方程
  
    
      
        x
        y
        =
        c
      
    
    {displaystyle xy=c}
  
给出,这里的
  
    
      
        c
      
    
    {displaystyle c}
  
是常数。如果对双曲线方程交换
  
    
      
        x
      
    
    {displaystyle x}
  
和
  
    
      
        y
      
    
    {displaystyle y}
  
,得到它的共轭双曲线。共轭双曲线有同样的渐近线。中心位于
  
    
      
        (
        h
        ,
        k
        )
      
    
    {displaystyle (h,k)}
  
的左右开口的双曲线:中心位于
  
    
      
        (
        h
        ,
        k
        )
      
    
    {displaystyle (h,k)}
  
的上下开口的双曲线:实轴贯穿双曲线的中心并交双曲线两臂于它们的顶点(拐点)。焦点位于双曲线实轴的延长线上。虚轴贯穿双曲线中点并垂直于实轴。在两个公式中,
  
    
      
        a
      
    
    {displaystyle a}
  
是半实轴(在双曲线两臂之间沿着实轴测量的距离),而
  
    
      
        b
      
    
    {displaystyle b}
  
是半虚轴。如果用双曲线的两个顶点的切线交渐近线形成一个矩形,在切线上的两边的长度是
  
    
      
        2
        b
      
    
    {displaystyle 2b}
  
,平行于实轴的两边的长度是
  
    
      
        2
        a
      
    
    {displaystyle 2a}
  
,注意
  
    
      
        b
      
    
    {displaystyle b}
  
可以大于
  
    
      
        a
      
    
    {displaystyle a}
  
。如果计算从双曲线上任意准线上的点到每个焦点的距离,这两个距离的差的绝对值总是
  
    
      
        2
        a
      
    
    {displaystyle 2a}
  
。离心率给出自:左右开口的双曲线的焦点是:
  
    
      
        
          (
          
            h
            ±
            c
            ,
            k
          
          )
        
      
    
    {displaystyle left(hpm c,kright)}
  
,其中c给出自
  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}
  
。上下开口的双曲线的焦点是:
  
    
      
        
          (
          
            h
            ,
            k
            ±
            c
          
          )
        
      
    
    {displaystyle left(h,kpm cright)}
  
,其中c给出自
  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}
  
。对于以直线
  
    
      
        x
        =
        h
      
    
    {displaystyle x=h}
  
和直线
  
    
      
        y
        =
        k
      
    
    {displaystyle y=k}
  
为渐近线的直角双曲线:这种双曲线最简单的例子是:左右开口的双曲线:上下开口的双曲线:上右下左开口的双曲线:上左下右开口的双曲线:在所有公式中,中心在极点,而
  
    
      
        a
      
    
    {displaystyle a}
  
是半实轴和半虚轴。如同正弦和余弦函数给出椭圆的参数方程,双曲函数给出双曲线的参数方程。
左右开口的双曲线:或上下开口的双曲线:或在所有公式中,
  
    
      
        (
        h
        ,
        k
        )
      
    
    {displaystyle (h,k)}
  
是双曲线的中点,
  
    
      
        a
      
    
    {displaystyle a}
  
是半实轴而
  
    
      
        b
      
    
    {displaystyle b}
  
是半虚轴。焦点在
  
    
      
        x
      
    
    {displaystyle x}
  
轴:
  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}-{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}焦点在
  
    
      
        y
      
    
    {displaystyle y}
  
轴:
  
    
      
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {displaystyle {frac {y^{2}}{a^{2}}}-{frac {x^{2}}{b^{2}}}=1}焦线平行于
  
    
      
        x
      
    
    {displaystyle x}
  
轴:
  
    
      
        y
        =
        ±
        
          
            b
            a
          
        
        x
      
    
    {displaystyle y=pm {frac {b}{a}}x}焦线平行于
  
    
      
        y
      
    
    {displaystyle y}
  
轴:
  
    
      
        y
        =
        ±
        
          
            a
            b
          
        
        x
      
    
    {displaystyle y=pm {frac {a}{b}}x}ρ
        =
        
          
            
              e
              p
            
            
              1
              +
              e
              cos
              
              θ
            
          
        
      
    
    {displaystyle rho ={frac {ep}{1+ecos theta }}}当
  
    
      
        e
        >
        1
      
    
    {displaystyle e>1}
  
时,表示双曲线。其中
  
    
      
        p
      
    
    {displaystyle p}
  
为焦点到准线距离,
  
    
      
        θ
      
    
    {displaystyle theta }
  
为弦与
  
    
      
        x
      
    
    {displaystyle x}
  
轴夹角。    
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