结构常数

群论中的结构常数是定义在李群上的一组常数。它们决定了该李群的李代数的元素之间的李括号（对易关系）。反过来，给定一组满足某些性质的常数，就一定存在以它们为结构常数的局部李群。

给定${\displaystyle r}$维李群${\displaystyle G}$上的${\displaystyle r}$个线性无关的右不变向量场${\displaystyle X_i(1\le <!--\; \le \; -->i\le <!--\; \le \; -->r)}$，它们构成了${\displaystyle G}$的李代数的一组基底。设

${\displaystyle =C_{ij}^k{X}_k}$，

其中${\displaystyle }$表示李括号。可以证明${\displaystyle C_{ij}^k}$是一组常数，它们称为李群${\displaystyle G}$的结构常数。

李群${\displaystyle G}$的结构常数满足反对称性

${\displaystyle C_{ij}^k=-<!--\; -\; -->C_{ji}^k}$，

以及Jacobi恒等式

${\displaystyle C_{ij}^k{C}_{lm}^i+C_{il}^k{C}_{mj}^i+C_{im}^k{C}_{jl}^i=0}$。

反过来，如果有一组常数${\displaystyle C_{ij}^k,1\le <!--\; \le \; -->i,j,k\le <!--\; \le \; -->r}$满足上述两条性质，那么一定存在一个局部李群以这组常数为结构常数。