多项式环

环同态

代数结构

相关结构

代数数论

P进数

代数几何

非交换代数几何（英语：Noncommutative algebraic geometry）

自由代数（英语：Free algebra）

克利福德代数

在抽象代数中，多项式环推广了初等数学中的多项式。一个环 ${\displaystyle R}$视同，两者在一般的域或环上则有区别。举例言之，考虑有限域 ${\displaystyle {\mathbb{F}}_2:=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}$ 上的多项式

此多项式代任何值皆零，故给出零函数，但其形式表法非零。

我们宁愿将多项式看作形式的符号组合，以得到较便利的代数理论。且考虑多项式在域扩张之下的性质：就函数观点，多项式函数在域扩张下的行为颇复杂，上述 ${\displaystyle P(X)}$ 给出 ${\displaystyle {\mathbb{F}}_2}$ 上的零函数，但视为 ${\displaystyle {\mathbb{F}}_4}$ 上的多项式函数则非零；而就形式观点，只须将系数嵌入扩张域即可。

于是我们采取下述定义：令 ${\displaystyle R}$ 为环。一个单变元 ${\displaystyle X}$ 的多项式 ${\displaystyle P(X)}$ 定义为下述形式化的表法：

其中 ${\displaystyle a_i}$ 属于 ${\displaystyle R}$，称作 ${\displaystyle X^i}$ 的系数，而 ${\displaystyle X}$ 视作一个形式符号。两多项式相等当且仅当每个 ${\displaystyle X^i}$ 的系数均相同。次数最大的非零系数称为该多项式的领导系数，或者首项系数。

更严谨的说法或许是将多项式定义为系数的序列 ${\displaystyle a=(a_n{)}_{n\ge <!--\; \ge \; -->0}}$，使得其中仅有有限项非零。但是我们在实践上总是用变元 ${\displaystyle X}$ 及其幂次表达。

以下固定环 ${\displaystyle R}$，我们将推广初等数学中熟悉的多项式运算。

多项式的加法由系数逐项相加定义，而乘法则由下列法则唯一地确定：

运算的具体表法如下：

当 ${\displaystyle R}$ 是交换环时，${\displaystyle R}$ 是个 ${\displaystyle R}$ 上的代数。

设 ${\displaystyle P(X)=\sum <!--\; \sum \; -->a_i{X}^i}$ 而 ${\displaystyle Q(X)}$ 为另一多项式，则可定义两者的合成为

对于任一多项式 ${\displaystyle P(X)=\sum <!--\; \sum \; -->a_i{X}^i}$ 及 ${\displaystyle r\in <!--\; \in \; -->R}$，我们可考虑 ${\displaystyle P(X)}$ 对 ${\displaystyle r}$ 的求值：

固定 ${\displaystyle r\in <!--\; \in \; -->R}$，则得到一个环同态 ${\displaystyle s_r:R\to <!--\; \to \; -->R}$，称作求值同态；此外它还满足

在微积分中，多项式的微分由微分法则 ${\displaystyle (x^k{)}^{\prime }=k{x}^{k-<!--\; -\; -->1}}$ 确定。虽然一般的环上既无拓扑结构更无完备性，我们仍然可形式地定义多项式的导数为：

这种导数依然满足 ${\displaystyle (PQ{)}^{\prime }=P^{\prime }Q+P{Q}^{\prime }}$ 与 ${\displaystyle (P+Q{)}^{\prime }=P^{\prime }+Q^{\prime }}$ 等性质。对于系数在域上的多项式，导数也可以判定重根存在与否。

上述定义可以推广到任意个变元（包括无限个变元）的情形。对于有限变元的多项式环 ${\displaystyle R}$，也可以采下述构造：

先考虑两个变元 ${\displaystyle X,Y}$ 的例子，我们可以先构造多项式环 ${\displaystyle R}$，其次构造 ${\displaystyle (R)}$。可以证明有自然同构 ${\displaystyle (R)\cong <!--\; \cong \; -->R}$，例如多项式

也可以视作

对 ${\displaystyle (R)}$亦同。超过两个变元的情形可依此类推。

多项式环对理想的商是构造环的重要技术。例子包括从同余系 ${\displaystyle \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}$构造有限域，或从实数构造复数等等。

弗罗贝尼乌斯多项式是另一个跟多项式环相关的环，此环的乘法系采用多项式的合成而非乘法。