调和共轭

在数学中，调和共轭（Harmonic conjugate）是针对函数的概念。定义在开集${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^2}$中的函数${\displaystyle u(x,y)}$，另一个函数${\displaystyle v(x,y)}$为其共轭函数的充分必要条件是${\displaystyle u(x,y)}$和${\displaystyle v(x,y)}$需要是全纯函数${\displaystyle f(z)}$（${\displaystyle z:=x+iy\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$）的实部及虚部。

因此，若${\displaystyle f(z):=u(x,y)+iv(x,y)}$在${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$中为全纯函数，${\displaystyle v}$就为${\displaystyle u}$的共轭函数。而${\displaystyle v}$和${\displaystyle u}$也是${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$中的调和函数。

在${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$区间内，${\displaystyle v}$是${\displaystyle u}$共轭函数的充分必要条件是${\displaystyle u}$和${\displaystyle v}$满足柯西－黎曼方程。