共轭先验

✍ dations ◷ 2025-04-25 13:09:07 #共轭先验
在贝叶斯统计中,如果后验分布与先验分布属于同类,则先验分布与后验分布被称为共轭分布,而先验分布被称为似然函数的共轭先验(Conjugate prior)。比如,高斯分布家族在高斯似然函数下与其自身共轭 (自共轭)。这个概念,以及"共轭先验"这个说法,由 霍华德·拉法拉(英语:Howard Raiffa) 和 罗伯特·施莱弗尔(英语:Robert Schlaifer) 在他们关于贝叶斯决策理论的工作中提出。 类似的概念也曾由 乔治·阿尔弗雷德·巴纳德(英语:George Alfred Barnard) 独立提出。具体地说,就是给定贝叶斯公式 p ( θ | x ) = p ( x | θ ) p ( θ ) ∫ p ( x | θ ′ ) p ( θ ′ ) d θ ′ , {displaystyle p(theta |x)={frac {p(x|theta )p(theta )}{int p(x|theta ')p(theta ')dtheta '}},} 假定似然函数  p ( x | θ ) {displaystyle p(x|theta )} 是已知的,问题就是选取什么样的先验分布 p ( θ ) {displaystyle p(theta )} 会让后验分布与先验分布具有相同的数学形式。共轭先验的好处主要在于代数上的方便性,可以直接给出后验分布的封闭形式,否则的话只能数值计算。共轭先验也有助于获得关于似然函数如何更新先验分布的直观印象。所有指数家族的分布都有共轭先验。

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