对合矩阵

在数学上， 对合矩阵是指逆为自身的矩阵，即，称矩阵${\displaystyle \mathbf{A}}$。 在特殊情况下，另一类的基本矩阵，即表示对行或列乘以 −1 的矩阵也是对合矩阵；实际上这是符号矩阵的一个特例——所有符号矩阵均是对合的。

下面是一些对合矩阵的简单例子。

这里

显然，任何由对称矩阵构成的块-对角阵 构成的矩阵也是对合矩阵。

一个对称的对合矩阵也是一个正交矩阵，并因此表示一个保距变换 (保持欧几里德距离的线性变换)。反之，每个正交对合矩阵均是对称的。 一个特别的例子是，每个反射矩阵均是对合的。

任何域上对合矩阵的行列式是±1.

如果 ${\displaystyle \mathbf{A}}$ 矩阵，则A是对合的当且仅当½(A + I)是 幂等的。 这一关系给出了对合矩阵和幂等矩阵之间的双射。

如果 ${\displaystyle \mathbf{A}}$ I + A: ∈ℝ} 与双曲复数同构。

如果 ${\displaystyle \mathbf{A}}$和 ${\displaystyle \mathbf{B}}$ 两个对合矩阵可交换，则 ${\displaystyle \mathbf{A}\mathbf{B}}$ 也是对合的。

如果 ${\displaystyle \mathbf{A}}$ 是对合矩阵则 A 的任意自然数次幂均是对合的。 事实上， ${\displaystyle {\mathbf{A}}^n}$ 在 ${\displaystyle n}$ 是奇数时等于 ${\displaystyle \mathbf{A}}$，在 ${\displaystyle n}$ 是偶数时等于 ${\displaystyle \mathbf{I}}$。