稳定多项式

✍ dations ◷ 2025-04-04 20:03:54 #稳定性理论,多项式

在探讨微分方程或是差分方程的特征方程(英语:Characteristic equation (calculus))时,多项式若满足任一个性质,即称为稳定:

第一个条件是连续时间(英语:continuous-time)线性系统的稳定条件,第二个条件则是离散时间(英语:discrete-time)线性系统的稳定性条件。若符合第一个条件的多项式称为赫尔维茨多项式,第一个条件的多项式则是舒尔多项式(英语:Schur polynomial)。稳定多项式常出现在控制理论中,也应用在微分方程及差分方程的数学理论中。线性时不变系统(参照线性时不变系统理论)为BIBO稳定的条件是所有有界输入的输出都是有界。若线性系统的特征方程为稳定多项式,系统则为BIBO稳定系统。若是连续时间系统,其分母需为赫尔维茨多项式,若是离散时间系统,其分母需为舒尔多项式。实务上,可以透过一些稳定性判据来判断稳定性。

是在莫比乌斯变换 z z + 1 z 1 {\displaystyle z\mapsto {{z+1} \over {z-1}}} 为舒尔稳定,当且仅当为赫尔维茨稳定而且 P ( 1 ) 0 {\displaystyle P(1)\neq 0} 。针对高次的多项式可以用其他的测验方式(例如Schur-Cohn测试、Jury稳定性判准(英语:Jury stability criterion)或是Bistritz稳定性判准(英语:Bistritz stability criterion))来判定,可以避免映射上的复杂计算。

则多项式为舒尔稳定。

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