稳定多项式

✍ dations ◷ 2025-04-02 11:06:36 #稳定性理论,多项式

在探讨微分方程或是差分方程的特征方程（英语：Characteristic equation (calculus)）时，多项式若满足任一个性质，即称为稳定：

第一个条件是连续时间（英语：continuous-time）线性系统的稳定条件，第二个条件则是离散时间（英语：discrete-time）线性系统的稳定性条件。若符合第一个条件的多项式称为赫尔维茨多项式，第一个条件的多项式则是舒尔多项式（英语：Schur polynomial）。稳定多项式常出现在控制理论中，也应用在微分方程及差分方程的数学理论中。线性时不变系统（参照线性时不变系统理论）为BIBO稳定的条件是所有有界输入的输出都是有界。若线性系统的特征方程为稳定多项式，系统则为BIBO稳定系统。若是连续时间系统，其分母需为赫尔维茨多项式，若是离散时间系统，其分母需为舒尔多项式。实务上，可以透过一些稳定性判据来判断稳定性。

是在莫比乌斯变换 $z\mapsto {{z+1} \over {z-1}}$ 为舒尔稳定，当且仅当为赫尔维茨稳定而且 $P(1)\neq 0$ $P(1)\neq 0$ 。针对高次的多项式可以用其他的测验方式（例如Schur-Cohn测试、Jury稳定性判准（英语：Jury stability criterion）或是Bistritz稳定性判准（英语：Bistritz stability criterion））来判定，可以避免映射上的复杂计算。

则多项式为舒尔稳定。

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