曲线的微分几何

曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。

从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet 标架，是一个活动标架，在曲线每一点附近给出“最合适”的坐标系。

曲线的理论比曲面理论及其高维推广的范围要狭窄得多，也简单得多。因为欧几里得空间中的正则曲线没有内蕴几何。任何正则曲线可以用弧长（“自然参数”）参数化，从曲线上来看不能知道周围空间的任何信息，所有曲线都是一样的。不同空间曲线只是由它们的弯曲和扭曲程度区分。数量上，这由微分几何不变量曲线的“曲率”和“挠率”来衡量。曲线基本定理断言这些不变量的信息完全确定了曲线。

设 ${\displaystyle n}$ 是闭区间 ，我们称 γ() 为曲线 γ 的起点而 γ() 为终点。

如果 ${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(a)=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(b)}$)(a) = γ()() 对所有 ≤ 。

如果 ${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}:(a,b)\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^n}$ 参数曲线

与

要称为等价，就要存在一个 双射

使得

和

γ₂ 称为 γ₁ 的重新参数化。这种 γ₁ 的重新参数化在所有参数 曲线的集合上定义了一种等价关系，其等价类称为 Cr 曲线。

对定向 Cr 曲线，我们可以定义一种“加细”的等价关系，要求 φ 满足 φ'() > 0。

等价的 曲线有相同的像；等价的定向 曲线有相同的运动方向。

1 曲线 γ : → R 的长度 可以定义为

曲线的长度在重参数化下保持不变，从而是曲线的一个微分几何性质。

对任何正则 （ 至少为 1）曲线 γ: → R 我们可以定义一个函数

写成

这里 () 是 () 的逆函数，我们得到 γ 的一个新参数化 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}$() 称为 γ 的自然参数。

我们偏爱这个参数，因为自然参数 () 以单位速度转动 γ 的像，所以

在实际中常常很难计算出一条曲线的自然参数，但在理论讨论中很有用。

给定一条参数化曲线 γ() 的自然参数化是在差一个参数移动的意义下是惟一的。

数量

经常称为曲线的能量或作用量；这个名称是有理由的，因为测地线方程是这个作用量的欧拉-拉格朗日运动方程。

一个 Frenet 标架是一个移动的参考标架，由描述曲线在每一点 γ() 局部性质的 个正交向量 () 组成。这是微分几何处理曲线的主要工具，因为在这个局部参考系中，远比使用欧几里得那样的整体坐标系更容易和自然地描述局部性质（如曲率、挠率）。

给定 R 中一条 阶正则 +1-曲线 γ，曲线的 Frenet 标架是一组正交向量

称为 Frenet 向量。它们是通过对 γ() 的各阶导数使用格拉姆-施密特正交化算法得到的：

实值函数 χ() 称为 广义曲率，定义为

Frenet 标架和广义曲率在重新参数化下是不变的，故它们是曲线的微分几何性质。

最初三个 Frenet 向量和广义曲率可以在三维空间中看到。它们有额外的名字以及与名称相关更多信息。

如果曲线 γ 表示一个质点的轨迹，那么质点在给定点 的瞬时速度用一个向量表示，称为曲线在 的切向量。

数学表述为，给定一条曲线 γ = γ()，对参数 的任何值： = ，向量：

是点 = γ() 的切向量。一般说，切向量可以为零向量。

切向量的长度：

是在时间 ₀ 的速率。

第一个 Frenet 向量 () 是在同一方向的单位切向量，在 γ 的每个正则点有定义：

如果 = 是自然参数则切向量有单位长，从而公式化简为：

单位切向量确定了曲线的定向，或随着参数增长的前进方向。

法向量，有时也称为曲率向量，表明曲线和一条直线的偏离程度。

法向量定义为

其正规形式单位法向量，是 Frenet 向量 ₂()，定义为

点的切向量和法向量张成 点的密切平面。

第一个广义曲率 χ₁() 称为曲率，度量了曲线 γ 偏离密切平面上一条直线的程度。定义为

称为 γ 在点 的曲率。

曲率的倒数

称为曲率半径。

半径为 的圆周有常曲率

但一条直线的曲率是 0 。

次法向量是第三个 Frenet 向量 ₃() ，总是正交于 点的单位切向量和单位法向量。其定义为

在 3 维空间中等式简化为

第二广义曲率 χ₂() 称为挠率，度量了 γ 和一条平面曲线的偏离程度。或者说，如果挠率为 0 则曲线完全在某平面内（任何 都在这一个平面内）。

称为 γ 在点 的挠率。

给定 个函数

满足

那么存在惟一的（在差一个欧几里得群作用的意义下） 阶正则 +1-曲线 γ，具有如下性质

这里集合

是曲面的 Frenet 标架。

再附加起始 ₀ ∈ ，起始点 ₀ ∈ R 以及一个初始正交标架 {₁, ..., _-1} 满足

那么我们可以排除欧几里得作用得到惟一的曲线 γ。

Frenet-Serret 公式是一组一阶常微分方程。其解为由广义曲率函数 χ 所刻画的曲线的 Frenet 向量组。