水仙花数

✍ dations ◷ 2025-09-18 18:55:52 #数字相关的数列,趣味数学

在数论中,水仙花数(Narcissistic number),也被称为超完全数字不变数(pluperfect digital invariant, PPDI)、自恋数、自幂数、阿姆斯壮数或阿姆斯特朗数(Armstrong number) ,用来描述一个N位非负整数,其各位数字的N次方和等于该数本身。

设有自然数n,d为该自然数各位数字,即  = -1...1 ,则有:

如果该自然数n满足条件:

则这个自然数就被称为超完全数字不变数。例如153、370、371及407就是三位超完全数字不变数,其各个数之立方和等于该数:

若将条件放宽,一个N位数,其各个数之M次方和等于该数,M和N不一定相等,这样的数称为完全数字不变数(perfect digital invariant),例如数字4150等于各位数字的5次方。

水仙花数一定是完全数字不变数,但完全数字不变数不一定是水仙花数。严格意义来说水仙花数指三位数。

十进制的水仙花数共有89个,最大的是

共有39位数。

完整的十进制水仙花数列表如下:(OEIS中的数列A005188)

(OEIS中的数列A161949)

显然,任何一位数(从1到B)都是水仙花数,另外,在十二进制中,不存在四位数的水仙花数。

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