水仙花数

✍ dations ◷ 2025-11-26 13:04:26 #数字相关的数列,趣味数学

在数论中，水仙花数（Narcissistic number），也被称为超完全数字不变数（pluperfect digital invariant, PPDI）、自恋数、自幂数、阿姆斯壮数或阿姆斯特朗数（Armstrong number），用来描述一个N位非负整数，其各位数字的N次方和等于该数本身。

设有自然数n，d为该自然数各位数字，即 = _-1...₁ ，则有：

如果该自然数n满足条件：

则这个自然数就被称为超完全数字不变数。例如153、370、371及407就是三位超完全数字不变数，其各个数之立方和等于该数：

若将条件放宽，一个N位数，其各个数之M次方和等于该数，M和N不一定相等，这样的数称为完全数字不变数（perfect digital invariant），例如数字4150等于各位数字的5次方。

水仙花数一定是完全数字不变数，但完全数字不变数不一定是水仙花数。严格意义来说水仙花数指三位数。

十进制的水仙花数共有89个，最大的是

共有39位数。

完整的十进制水仙花数列表如下：（OEIS中的数列A005188）

（OEIS中的数列A161949）

显然，任何一位数（从1到B）都是水仙花数，另外，在十二进制中，不存在四位数的水仙花数。

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