实际数

实际数（practical number）是指一正整数有许多约数，所有小于的正整数都可以用数个的相异真约数和表示。例如12的真约数有1, 2, 3, 4及6，而1至11的数字中有几个不是12的真约数，但都可以表示为数个相异真约数的和：5=3+2, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1及11=6+3+2。

以下是实际数的列表（OEIS中的数列A005153）：1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....

12,13世纪的意大利数学家斐波那契在其著作《计算之书》（Liber Abaci）中，在说明如何用埃及分数的和表示有理数时有用到实际数。斐波那契没有正式的定义实际数，但其中有一个表，其中有许多分数的分母为实际数。

实际数（practical number）一词最早是由Srinivasan在1948年开始使用，他希望可以找出有这类性质的数字，此工作后来在1955年由Stewart和Sierpiński完成。利用正整数的素因数分解可以判断是否是实际数，所有2的幂及偶数的完全数都是实际数。

已发现实际数和素数有许多类似的特质。

一个正整数可以由其素因数分解看出是否是实际数，一正整数${\displaystyle n=p_1^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}...p_k^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k}}$之间的：

其中${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(x)}$的除数函数。

例如3 ≤ σ(2)+1 = 4，29 ≤ σ(2 × 32)+1 = 40，及823 ≤ σ(2 × 32 × 29)+1=1171，因此2 × 32 × 29 × 823 = 429606为一实际数。

由于以上条件成立时，才能用其他较小的约数和表示${\displaystyle p_i-<!--\; -\; -->1}$ − 1(2 − 1)，其奇数的素因数可以用其他偶数部分的除数函数来表示，因此也满足实际数的充份必要条件。

任一个素数阶乘也都是实际数。根据伯特兰－切比雪夫定理，素数阶乘中最大的素数会小于次大素数和最小素数（2）的乘积，因此满足实际数的充份必要条件。前个素数幂次的乘积也都是实际数，包括阶乘以及斯里尼瓦瑟·拉马努金提出的高合成数。

若为实际数，则小于1的有理数/可以表示∑/来表示，其中为的相异约数，此式的每一项都可以化简为单位分数，因此此式即为/的埃及分数表示式。例如

斐波那契在其著作《计算之书》（Liber Abaci）中列出许多用埃及分数表示有理数的方式，首先先确认分数是否可以直接化简为单位分数，再来则是设法将分子表示为分母约数的和，此方式只在分母为实际数时有效。斐波那契列出了分母为6, 8, 12, 20, 24, 60及100时，分数用埃及分数表示时的表示式。

实际数特别的一点是其许多性质都类似素数。例如假设()为小于实际数的个数，Saias证明存在常数₁及 ₂使得下式成立：

以上公式可以对应素数的素数定理。此证明解答了Margenstern的猜想：存在特定常数，使得()渐近于/log 。也强化了保罗·埃尔德什所提出：实际数在正整数中的密度为0的论点。

实际数也有对应哥德巴赫猜想及孪生素数猜想的定理：每一个偶数可以表示为二个实际数的和，以及存在无限多个  − 2, ,  + 形式的实际数。Melfi也证明在斐波那契数列中存在无限多个实际数，素数对应的问题是是否存在无限多个斐波那契素数，此问题仍为开放问题，还没有被证明，但也还找不到反例。Hausman及Shapiro证明若为正实数，在区间内存在实际数，可以对应素数中的勒让德猜想。