有界输入有界输出稳定性

在信号处理及控制理论中，有界输入有界输出稳定性简称BIBO稳定性，是一种针对有输入信号线性系统的稳定性。BIBO是“有界输入有界输出”（Bounded-Input Bounded-Output）的简称，若系统有BIBO稳定性，则针对每一个有界的输入，系统的输出也都会有界，不会发散到无限大。

对于信号若存在有限的定值${\displaystyle B>0}$使得信号的幅度不会超过${\displaystyle B}$，则此信号为有界的，也就是说

针对连续时间的线性非时变（LTI）系统，BIBO稳定性的条件是脉冲响应需为绝对可积分，也就是存在L1范数

针对离散时间的线性非时变系统，BIBO稳定性的条件是脉冲响应需为绝对可积分，也就是存在L1范数

假设离散时间的线性非时变系统，其脉冲响应${\displaystyle h}$和输入${\displaystyle x}$和输出${\displaystyle y}$之间会有以下的关系：

其中${\displaystyle \ast <!--\; \ast \; -->}$为卷积则依卷积的定义：

令${\displaystyle \Vert <!--\; \Vert \; -->x{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$为${\displaystyle |x|}$的最大值

若${\displaystyle h}$是绝对可求和，则且

因此若${\displaystyle h}$是绝对可求和，且${\displaystyle \left|x\right|}$有界，则因为，${\displaystyle \left|y\right|}$也会有界。

连续时间的情形也可以依类似的方式证明。

对于一个有理的连续时间系统，稳定性的条件是拉普拉斯转换的收敛区域包括复数平面的虚轴。若系统为因果系统，其收敛区域为“最大极点”（实部为最大值的极点）实部垂直线往右的开集，定义收敛区域的极点实部称为收敛横坐标（英语：abscissa of convergence）。因此，若要有BIBO稳定性，系统的所有极点都需在S平面的严格左半平面（不能在虚轴上）。

可以将时域分析下的稳定性条件扩展到频域下：

其中${\displaystyle s=\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}+j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$，且${\displaystyle \text{Re}(s)=\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=0}$.

因此收敛区域必须包括虚轴。

对于一个有理的离散时间系统，稳定性的条件是Z转换的收敛区域包括单位圆。若系统为因果系统，其收敛区域为极点绝对值中最大值为半径的圆周以外的开集，因此，若要有BIBO稳定性，系统的所有极点都需在Z平面的单位圆内（不能在单位圆上）。

可以用类似的方式推导稳定性准则：

其中${\displaystyle z=r{e}^{j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}$，且${\displaystyle r=|z|=1}$

因此收敛区域必须包括单位圆。