乔丹–维格纳变换

Jordan–Wigner 变换可用于将自旋算符映射到费米子的产生和湮灭算符。一维晶格模型由 Pascual Jordan 与 Eugene Wigner 提出，当前亦得到二维模型的类似变换。 通过把自旋算符变换为费米子的产生湮灭算符，继而在费米子基矢中作对角化，Jordan–Wigner 变换经常用于精确求解 1D 自旋链，例如伊辛模型和 XY 模型。

此变换证明一维空间至少在有些情况下， 自旋-1/2 粒子与费米子不可区别。

接下来证明如何从一维自旋-1/2粒子构成的自旋链映射到费米子.

将自旋-1/2泡利算符作用到1D链的上的第j个晶座，${\displaystyle {\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_j^{+},{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_j^{-<!--\; -\; -->},{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_j^z}$. 选取 反对易算符 ${\displaystyle {\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_j^{+}}$ and ${\displaystyle {\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_j^{-<!--\; -\; -->}}$, 可以发现 ${\displaystyle \{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_j^{+},{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_j^{-<!--\; -\; -->}\}=1}$, 这些可从费米子的产生湮灭算符中得到。我们可以尝试，

这样，可以得到同晶格上费米子关系 ${\displaystyle \{f_j^{†<!--\; †\; -->},f_j\}=1}$, 但对不同的晶格，有关系 ${\displaystyle =0}$, 其中 ${\displaystyle j\ne <!--\; \ne \; -->k}$, 如此不同晶格上的自旋的对易关系不同于反对易的费米子。人们必须弥补这个问题。

能够恢复从自旋算符到真正费米子对易关系的变换于1928由 Jordan 和 Wigner 提出。此为 Klein 变换的特殊情况。考虑费米子链，定义一组新算符

与之前的定义相差一个相 ${\displaystyle e^{\pm <!--\; \pm \; -->i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\underset{k=1}{\overset{j-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{f}_k^{†<!--\; †\; -->}{f}_k}}$。此相与场模 ${\displaystyle k=1,\dots <!--\; \dots \; -->,j-<!--\; -\; -->1}$ 下占据的费米子数有关。如果占有模数为偶，此相等于 ${\displaystyle +1}$； 占有模数为奇，相为 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->1}$。表示为

最后一个等式使用了 ${\displaystyle f_k^{†<!--\; †\; -->}{f}_k=0,1.}$

这样，变换后的自旋算符具有正确的费米子对易关系

逆变换为