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马尤厄－嘉当形式

✍ dations ◷ 2025-02-25 17:42:44 #李群,方程,微分几何

数学上，一个李群的Maurer-Cartan形式是一个特别的微分形式，它包含关于这个李群的结构的基本的无穷小信息。它被埃里·嘉当多次使用，作为他的移动标架法的基本组成。

设 $g=T_{e}G$ 的李括号。(这可以作为上的李括号的定义。)这些事实可以用来建立李代数的同构

根据微分的定义，若X和Y为任意向量场，则

实用上，若X和Y为左移不变，则

所以

但是左边只是一个2-形式(其值只和X,Y在一点的取值有关，所以跟X,Y作为场在周围的变化无关)，所以方程不依赖于X和Y是左移不变的条件。所以这个方程对所有向量场X和Y成立。这被称为Maurer-Cartan方程.

如果G嵌入到GL(n，R),则可以把 $\omega$ $\omega$ 的公式显式的写成

若我们在李群G上引入主丛，并把G上的左作用定义为变换函数，则联络形式 $A=\omega$ $A=\omega$ 是平坦的。实际上

和Maurer-Cartan方程完全一致。

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