广义相对论中的数学

在狭义相对论中，微积分、矩阵为其所用到的主要数学工具，配合闵可夫斯基时空的转换以及劳伦兹不变量的使用，粗略地描述了时、空的性质。当s'坐标系在s坐标系沿x轴作等速v运动时，其转换以以下方程表示：

其具有以下不变形式：

或者写成微分形式

在适当地选取坐标系可使${\displaystyle c=1}$

对于牛顿力学中的动量、能量作了以下的修正：

其中

能量和动量有以下关系：

狭义相对论仅限于等速、时空可近似平坦地情况下，然而在讨论大尺度且有引力场的情况下，就必须使用广义相对论。

爱因斯坦认为，惯性坐标系并没有优于其他坐标系，一切的物理定律应在任何参考坐标系下皆成立，所有的变换应都是协变的。因此，在其论文中，大量地使用称之为张量(Tensor)的数学工具，其方程往往是非线性的，因此很难求解。

一小段弧长ds平方的不变式

${\displaystyle d{s}^2=g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}d{x}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}d{x}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$

${\displaystyle g_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$为度规张量

${\displaystyle d{x}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$和${\displaystyle d{x}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$为逆变张量

质点沿测地线运动，测地线方程可以用哈密顿原理或是平行位移(parallel transportation)等方式推导，以下为测地线方程：

${\displaystyle \frac{d^2{x}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}{d{s}^2}+{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\frac{d{x}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}{ds}\frac{d{x}^{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}{ds}=0}$

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$为克里斯多福符号

在非欧式空间中，描述空间曲率的张量为黎曼－克里斯多福张量

${\displaystyle R_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}+{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}$