广义相对论中的数学

✍ dations ◷ 2025-07-11 15:32:54 #广义相对论的数学方法

在狭义相对论中,微积分、矩阵为其所用到的主要数学工具,配合闵可夫斯基时空的转换以及劳伦兹不变量的使用,粗略地描述了时、空的性质。当s'坐标系在s坐标系沿x轴作等速v运动时,其转换以以下方程表示:

其具有以下不变形式:

或者写成微分形式

在适当地选取坐标系可使 c = 1 {\displaystyle c=1}

对于牛顿力学中的动量、能量作了以下的修正:

其中

能量和动量有以下关系:

狭义相对论仅限于等速、时空可近似平坦地情况下,然而在讨论大尺度且有引力场的情况下,就必须使用广义相对论。

爱因斯坦认为,惯性坐标系并没有优于其他坐标系,一切的物理定律应在任何参考坐标系下皆成立,所有的变换应都是协变的。因此,在其论文中,大量地使用称之为张量(Tensor)的数学工具,其方程往往是非线性的,因此很难求解。

一小段弧长ds平方的不变式

d s 2 = g μ ν d x μ d x ν {\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }{dx^{\mu }}{dx^{\nu }}}

g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} 为度规张量

d x μ {\displaystyle {dx^{\mu }}} d x ν {\displaystyle {dx^{\nu }}} 为逆变张量


质点沿测地线运动,测地线方程可以用哈密顿原理或是平行位移(parallel transportation)等方式推导,以下为测地线方程:

d 2 x μ d s 2 + Γ ν σ μ d x ν d s d x σ d s = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{ds^{2}}}+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}}{\frac {dx^{\sigma }}{ds}}=0}

Γ ν σ μ {\displaystyle \Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }} 为克里斯多福符号

在非欧式空间中,描述空间曲率的张量为黎曼-克里斯多福张量

R ν ρ σ β = Γ ν σ β x ρ Γ ν ρ β x σ + Γ ν σ α Γ α ρ β Γ ν ρ α Γ α σ β {\displaystyle R_{\nu \rho \sigma }^{\beta }={\frac {\partial \Gamma _{\nu \sigma }^{\beta }}{\partial x^{\rho }}}-{\frac {\partial \Gamma _{\nu \rho }^{\beta }}{\partial x^{\sigma }}}+\Gamma _{\nu \sigma }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \rho }^{\beta }-\Gamma _{\nu \rho }^{\alpha }\Gamma _{\alpha \sigma }^{\beta }}

相关

  • 灵隐寺坐标:30°14′34″N 120°05′48″E / 30.2427777778°N 120.096666667°E / 30.2427777778; 120.096666667灵隐寺,康熙皇帝曾赐名云林禅寺,位于杭州西湖西北面,在飞来峰与北高
  • 米兰公国米兰公国是1395年至1797年间于意大利北部的一个国家。公国虽然是神圣罗马帝国的一部分,但却是一个分权实体,公国先后由数个王朝统治,多数是意大利以外的势力。虽然公国的领土多
  • 十二羟基环己烷十二羟基环己烷是一种有机化合物,分子式为C6(OH)12。它是一种以环己烷为骨架,外加六重偕二元醇的分子,它更可被视为环己六酮的六重水合物。
  • 温血恒温动物(Homeotherms),俗称温体动物,与内温动物(Endotherms)不 同。在动物学指的是那些能够调节自身体温的动物,其活动性并不像变温动物那样依赖外界温度。在鸟和哺乳动物会通过新
  • 叠氮胸苷齐多夫定(英语:zidovudine),也称叠氮胸苷(英语:azidothymidine),简称 ZDV 或 AZT,是一种抗反转录病毒药物,用于治疗或预防艾滋病,通常会建议搭配其他抗反转录病毒药物一起使用。齐多夫
  • 内湖郭氏古宅坐标:25°04′47″N 121°35′13″E / 25.079657°N 121.587069°E / 25.079657; 121.587069原内湖郭氏古宅,又称“内湖红楼”,位于台湾台北市内湖区,1917年兴建,有“内湖地区最
  • 法兰克福条约法兰克福条约 (法语:Le traité de Francfort) 是由德国与法国于1871年5月10日在法兰克福签订,由此结束了普法战争。条约条款非常苛刻,令战败的法国与战胜的德国结怨,引起了法国
  • 安舟浙医一院医师 安舟(英语:Zhou An,1974年10月22日-)浙江大学医学院内科学呼吸病学硕士,浙医一院普胸外科主治医师,专长于呼吸介入教学与科研、气管镜介入与CT引导下肺部、纵隔病灶穿
  • 根黄藻目根黄藻目(Rhizochloridales)为藻类植物之一植物目。该植物于植物分类表上,归于黄藻门(Xanthophyta) (Chromophyta)黄藻纲 (Xanthophyceae) ,同纲者尚有异鞭藻目(Heterochloridales)
  • 灰孔多年卧孔菌灰孔多年卧孔菌,属于多孔菌科一种,是木栖腐生的小型菇类。该菇类生长于如台湾等地之低中海拔林区,生长期间约是在春夏两季之间。