夹角

在几何学中，角（拼音：jiǎo，注音符号：ㄐㄧㄠˇ）是由两条有公共端点的射线组成的几何对象。这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。一般的角会假设在欧几里得平面上，但在非欧几里得几何中也可以定义角，特别是在球面几何学中的球面角（英语：spherical angle）是用大圆的圆弧代替射线。角在几何学和三角学中有着广泛的应用。几何之父欧几里得曾定义角为在平面中两条不平行的直线的相对斜度。普罗克鲁斯认为角可能是一种特质、一种可量化的量、或是一种关系。欧德谟（英语：Eudemus）认为角是相对一直线的偏差，安提阿的卡布斯（英语：Carpus of Antioch）认为角是二条相交直线之间的空间。欧几里得认为角是一种关系，不过他对直角、锐角或钝角的定义都是量化的。平面角的大小定义是以两射线交点为圆心的圆被射线所截的弧长与半径之比，单位包括弧度和度、分、秒等。角通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间。图中的角用∠AOB表示。但若在不会产生混淆的情形下，也会直接用顶点的字母表示，例如角∠O。在数学式中，一般会用希腊字母（ α , β , γ , θ , φ , . . . {displaystyle alpha ,beta ,gamma ,theta ,varphi ,...} ）表示角的大小。为避免混淆，符号π一般不用来表示角度。以角的端点为圆心做圆弧。由于圆弧的半径和弧长成正比，而角是长度的比例，所以圆的大小不会影响角的测量。角度的量测可以视为弧长s和半径r的比例，再依选用单位乘以一比例系数 2 π n {displaystyle {frac {2pi }{n}}} 。例如以上的弧度、角度和梯度，其转换系数 n {displaystyle n} 分别为 2 π {displaystyle 2pi } 、360和400。以下是一些其他的测量单位，对应不同的 n {displaystyle n} 值。以上角的定义均未考虑数值为负的角。不过在一些应用时，会将角的数值加上正负号，以标明是相对参考物不同方向的旋转。在二维的笛卡尔坐标系中，角一般是以x轴的正向为基准，若往y轴的正向旋转，则其角为正角，若往y轴的负向旋转，则其角为负角。若二维的笛卡尔坐标系也是x轴朝右，y轴朝上，则逆时针的旋转对应正角，顺时针的旋转对应负角。一般而言， − θ {displaystyle -theta } 角和一圈减去 θ {displaystyle theta } 所得的角等效。例如 − 45 ∘ {displaystyle -45^{circ }} 和 360 ∘ − 45 ∘ ( = 315 ∘ ) {displaystyle 360^{circ }-45^{circ }(=315^{circ })} 等效，但这只适用在用角表示相对位置，不是旋转概念时。旋转 − 45 ∘ {displaystyle -45^{circ }} 和旋转315°是不同的。在三维的几何中，顺时针及逆时针没有绝对的定义，因此定义正角及负角时均需列出其参考的基准，一般会以一个通过角的顶点，和角所在平面垂直的向量为基准。在导航时，导向是以北方为基准，正向表示顺时针，因此导向45°对应东北方。导向没有负值，西北方对应的导向为315°。除了量测角本身的大小外．也有其他的方式，可以量测角的大小。坡度等于一个角的正切值，常用百分比或千分比来表示。当一个角的坡度小于5%时，其坡度近似于角以弧度表示的数值。在有理几何学（英语：rational geometry）中，一个角的大小是以伸展度（spread）来表示，伸展度定义为角对应正弦的平方，而任一角正弦的平方和该角补角正弦的平方相等。因此任一角和其补角在有理几何学中是等同的。三个零角直角优角（或作反角）周角锐角（a）、钝角（b）和平角（c）以下是各角度的名称及不同单位下的数值：令x为该角度数。有三种特殊角的组合，其度数和均为特殊的值：a + b + c = 360 ∘ {displaystyle a+b+c=360^{circ }}a + b + c = 180 ∘ {displaystyle a+b+c=180^{circ }}当 A E {displaystyle AE} 平行于 B D {displaystyle BD} ,由角度的关系也可以推得两直线平行曲线和直线的的夹角或是二曲线间的的夹角定义为二曲线在交点处切线的夹角。在欧几里得空间中，二个向量u及v的角和其点积及向量的长度有关：依上式可以用二个平面（或曲面）的法向量，计算二者之间的夹角，也可以根据二歪斜线的向量计算其夹角。在一个抽象的实数内积空间中，在定义角时可以用内积 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {displaystyle langle cdot ,cdot rangle } 取代欧几里得空间的点积( · )：在复数的内积空间中，为了使余弦的数值仍维持实数，因此需修改为或者使用绝对值的标示：后者不考虑向量的方向，因此是描述由向量 u {displaystyle mathbf {u} } 及 v {displaystyle mathbf {v} } 所生成的二个一维子空间 span ⁡ ( u ) {displaystyle operatorname {span} (mathbf {u} )} 及 span ⁡ ( v ) {displaystyle operatorname {span} (mathbf {v} )} 之间的夹角。在黎曼几何中，利用度量张量来定义二条切线之间的夹角，其中U及V是切线向量，gij 是度量张量G的分量。以地理的观点，地球上任何一个位置都可以用地理坐标系统来表示，此系统标示位置的经度及纬度，两者都以此点连至地球球心连线的角度来表示，经度是以格林威治子午线为参考基准，而纬度是以赤道为参考基准。在天文学中，天球的一点可以用任何一种天球坐标系统来表示，不过其基准则因坐标系统不同而不同。天文学量测二颗星星的角距离时，会假想分别有二颗星星分别和地球连成的直线，再量测这二条直线的夹角，即为角距离。天文学家也会用角直径量测一物体的表观大小。例如满月的角直径约为0.5°。小角公式（英语：small-angle formula）可以将上述的角测量转换为距离和大小的比值。