测度与概率

数学上，测度（英语：measure）是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中都有所体现。X {displaystyle X} 是个集合，定义在 X {displaystyle X} 上的另一集合 A {displaystyle {mathcal {A}}} ， A {displaystyle {mathcal {A}}} 中的元素是 X {displaystyle X} 的子集合，而且是一个'"`UNIQ--templatestyles-00000006-QINU`"' σ-代数，测度 μ {displaystyle mu } （详细的说法是可数可加的正测度）是个定义在 A {displaystyle {mathcal {A}}} 上的函数，于 [ 0 , ∞ ] {displaystyle } 中取值，且满足以下性质：这样的三元组 ( X , A , μ ) {displaystyle (X,{mathcal {A}},mu )} 称为一个测度空间，而 A {displaystyle {mathcal {A}}} 中的元素称为这个空间中的可测集合。下面的一些性质可从测度的定义导出：测度 μ   {displaystyle mu } 的单调性： 若 E 1   {displaystyle E_{1} } 和 E 2   {displaystyle E_{2} } 为可测集，而且 E 1 ⊆ E 2 {displaystyle E_{1}subseteq E_{2}} ，则 μ ( E 1 ) ≤ μ ( E 2 ) {displaystyle mu (E_{1})leq mu (E_{2})} 。若 E 1 , E 2 , E 3 ⋯ {displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}cdots } 为可测集（不必是两两不交的），则集合 E n   {displaystyle E_{n} } 的并集是可测的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：如果还满足并且对于所有的 n   {displaystyle n } ， E n   {displaystyle E_{n} } ⊆ E n + 1   {displaystyle E_{n+1} } ，则如下极限式成立：若 E 1 , E 2 , ⋯ {displaystyle E_{1},E_{2},cdots } 为可测集，并且对于所有的 n   {displaystyle n } ， E n + 1   {displaystyle E_{n+1} } ⊆ E n   {displaystyle E_{n} } ，则 E n   {displaystyle E_{n} } 的交集是可测的。进一步说，如果至少一个 E n   {displaystyle E_{n} } 的测度有限，则有极限：如若不假设至少一个 E n   {displaystyle E_{n} } 的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个 n ∈ N {displaystyle nin mathbb {N} } ，令这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。如果 μ ( X )   {displaystyle mu (X) } 是一个有限实数（而不是 ∞ {displaystyle infty } ），则测度空间 ( X , A , μ ) {displaystyle (X,{mathcal {A}},mu )} 称为有限测度空间。非零的有限测度与概率测度类似，因为可以通过乘上比例因子 1 μ ( X ) {displaystyle {frac {1}{mu (X)}}} 进行归一化。如果 X   {displaystyle X } 可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为 σ {displaystyle sigma } -有限测度空间。如果测度空间中的一个集合 A   {displaystyle A } 可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，就称 A   {displaystyle A } 具有 σ {displaystyle sigma } -有限测度。作为例子，实数集赋以标准勒贝格测度是 σ {displaystyle sigma } -有限的，但不是有限的。为说明之，只要考虑闭区间族，k取遍所有的整数；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子，取实数集上的计数测度，即对实数集的每个有限子集，都把元素个数作为它的测度，至于无限子集的测度则令为 ∞ {displaystyle infty } 。这样的测度空间就不是 σ {displaystyle sigma } -有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。 σ {displaystyle sigma } -有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说， σ {displaystyle sigma } -有限性可以类比于拓扑空间的可分性。对于一个可测集 N {displaystyle N} ，若 μ ( N ) = 0   {displaystyle mu (N)=0 } 成立，则称为零测集，其子集称为可去集。一个可去集未必是可测的，但零测集一定是可去集。如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：考虑 X {displaystyle X} 的所有与某个可测集 E {displaystyle E} 仅差一个可去集的子集 F {displaystyle F} ，可得到 E {displaystyle E} 与 F {displaystyle F} 的对称差包含于一个零测集中。由这些子集 F {displaystyle F} 生成的σ代数，并定义 μ ( F ) = μ ( E ) {displaystyle mu (F)=mu (E)} ，所得到的测度即为完备测度。下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。