首页 >
测度与概率
✍ dations ◷ 2025-01-23 03:14:27 #测度与概率
数学上,测度(英语:measure)是一个函数,它对一个给定集合的某些子集指定一个数,这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的,后来人们希望把积分推广到任意的集合上,就发展出测度的概念,它在数学分析和概率论有重要的地位。测度论是实分析的一个分支,研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分,其重要性在概率论和统计学中都有所体现。X
{displaystyle X}
是个集合,定义在
X
{displaystyle X}
上的另一集合
A
{displaystyle {mathcal {A}}}
,
A
{displaystyle {mathcal {A}}}
中的元素是
X
{displaystyle X}
的子集合,而且是一个'"`UNIQ--templatestyles-00000006-QINU`"'
σ-代数,测度
μ
{displaystyle mu }
(详细的说法是可数可加的正测度)是个定义在
A
{displaystyle {mathcal {A}}}
上的函数,于
[
0
,
∞
]
{displaystyle }
中取值,且满足以下性质:这样的三元组
(
X
,
A
,
μ
)
{displaystyle (X,{mathcal {A}},mu )}
称为一个测度空间,而
A
{displaystyle {mathcal {A}}}
中的元素称为这个空间中的可测集合。下面的一些性质可从测度的定义导出:测度
μ
{displaystyle mu }
的单调性:
若
E
1
{displaystyle E_{1} }
和
E
2
{displaystyle E_{2} }
为可测集,而且
E
1
⊆
E
2
{displaystyle E_{1}subseteq E_{2}}
,则
μ
(
E
1
)
≤
μ
(
E
2
)
{displaystyle mu (E_{1})leq mu (E_{2})}
。若
E
1
,
E
2
,
E
3
⋯
{displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}cdots }
为可测集(不必是两两不交的),则集合
E
n
{displaystyle E_{n} }
的并集是可测的,且有如下不等式(“次可列可加性”):如果还满足并且对于所有的
n
{displaystyle n }
,
E
n
{displaystyle E_{n} }
⊆
E
n
+
1
{displaystyle E_{n+1} }
,则如下极限式成立:若
E
1
,
E
2
,
⋯
{displaystyle E_{1},E_{2},cdots }
为可测集,并且对于所有的
n
{displaystyle n }
,
E
n
+
1
{displaystyle E_{n+1} }
⊆
E
n
{displaystyle E_{n} }
,则
E
n
{displaystyle E_{n} }
的交集是可测的。进一步说,如果至少一个
E
n
{displaystyle E_{n} }
的测度有限,则有极限:如若不假设至少一个
E
n
{displaystyle E_{n} }
的测度有限,则上述性质一般不成立。例如对于每一个
n
∈
N
{displaystyle nin mathbb {N} }
,令这里,全部集合都具有无限测度,但它们的交集是空集。如果
μ
(
X
)
{displaystyle mu (X) }
是一个有限实数(而不是
∞
{displaystyle infty }
),则测度空间
(
X
,
A
,
μ
)
{displaystyle (X,{mathcal {A}},mu )}
称为有限测度空间。非零的有限测度与概率测度类似,因为可以通过乘上比例因子
1
μ
(
X
)
{displaystyle {frac {1}{mu (X)}}}
进行归一化。如果
X
{displaystyle X }
可以表示为可数个可测集的并集,而且这些可测集的测度均有限,则该测度空间称为
σ
{displaystyle sigma }
-有限测度空间。如果测度空间中的一个集合
A
{displaystyle A }
可以表示为可数个可测集的并集,而且这些可测集的测度均有限,就称
A
{displaystyle A }
具有
σ
{displaystyle sigma }
-有限测度。作为例子,实数集赋以标准勒贝格测度是
σ
{displaystyle sigma }
-有限的,但不是有限的。为说明之,只要考虑闭区间族,k取遍所有的整数;这样的区间共有可数多个,每一个的测度为1,而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子,取实数集上的计数测度,即对实数集的每个有限子集,都把元素个数作为它的测度,至于无限子集的测度则令为
∞
{displaystyle infty }
。这样的测度空间就不是
σ
{displaystyle sigma }
-有限的,因为任何有限测度集只含有有限个点,从而,覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。
σ
{displaystyle sigma }
-有限的测度空间有些很好的性质;从这点上说,
σ
{displaystyle sigma }
-有限性可以类比于拓扑空间的可分性。对于一个可测集
N
{displaystyle N}
,若
μ
(
N
)
=
0
{displaystyle mu (N)=0 }
成立,则称为零测集,其子集称为可去集。一个可去集未必是可测的,但零测集一定是可去集。如果所有的可去集都可测,则称该测度为完备测度。一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度:考虑
X
{displaystyle X}
的所有与某个可测集
E
{displaystyle E}
仅差一个可去集的子集
F
{displaystyle F}
,可得到
E
{displaystyle E}
与
F
{displaystyle F}
的对称差包含于一个零测集中。由这些子集
F
{displaystyle F}
生成的σ代数,并定义
μ
(
F
)
=
μ
(
E
)
{displaystyle mu (F)=mu (E)}
,所得到的测度即为完备测度。下列是一些测度的例子(顺序与重要性无关)。其它例子,包括:狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。
相关
- 维生素A维生素A又称维他命A、抗干眼病维生素,是人类的必需营养素之一。维生素A的前体是存在于多种植物中的胡萝卜素。维生素A并非单一的一种化合物,而是有许多不同的型态。动物能将胡
- 盲鳗见内文盲鳗亚纲(学名:Myxini)是一类海洋脊椎动物,在食物链上属于食腐动物。过去是无颌总纲之下的一目,现在则是无颌总纲下的圆口纲下的一亚纲。盲鳗广泛分布于全球三大洋的温带、
- 恩前列素恩前列素是一种合成的类地诺前列酮前列腺素,它可以用来作胃部HCl分泌的强效抑制剂。 因而常被用来作抗酸或溃疡药。它的药理作用基本与米索前列醇相同。医学导航:遗传代谢缺陷
- 肠道血管发育不良肠道血管发育不良是肠道血管异常增生而引起下消化道慢性失血。由于是间断性出血,诊断检查时不出血,因此难诊断。肠道血管的异常状态,无法解释的肠道出血与贫血。损害常是多重的
- 能人能人(学名:Homo habilis),台湾称巧人,是灵长目动物里第一种被认为属于人类的生物,是人科人属中的一个种。1960至1963年,玛丽·利基于东非坦桑尼亚奥杜韦峡谷发现。生存在大约两百万
- 麦克斯韦电磁学经典电磁学(英语:Classical electromagnetism)或经典电动力学是理论物理学的分支,通常包含在广义的电磁学,以麦克斯韦方程组和洛伦兹力为基础,主要研究电荷和电流的电磁场及其彼此
- GPCR结构 / ECODG蛋白偶联受体(G Protein-Coupled Receptors,GPCRs),是一大类膜蛋白受体的统称。这类受体的共同点是其立体结构中都有七个跨膜α螺旋,且其肽链的C端和连接第5和第6个
- 鸭嘴龙科鸭嘴龙科(Hadrosauridae)是鸟脚亚目恐龙的一科,是一群繁盛的草食性恐龙,包括著名的副栉龙、青岛龙、山东龙、盔龙,化石发现于亚洲、欧洲、以及北美洲的下白垩纪地层。它们是上侏
- 异特龙可疑物种异特龙属(属名:Allosaurus)又称异龙或跃龙,是兽脚亚目肉食龙下目恐龙的一属。异特龙是种大型的二足、掠食性恐龙,平均身长为8.5米,最长可达12到13米。它们生存于晚侏罗纪
- 法兰克福汇报《法兰克福汇报》(德语原名:Frankfurter Allgemeine Zeitung,缩写:FAZ)是一份德国的全国性日报,报社总部位于美因河畔法兰克福。报纸的法人形式是有限责任公司,独立的FAZIT基金会为