线性化

数学上的线性化（linearization）是找函数在特定点的线性近似，也就是函数在该点的一阶泰勒级数。在动力系统研究中，线性化是分析非线性微分方程系统或是非线性离散系统，在特定平衡点局部稳定性的一种方法。 此方法常应用在工程学、物理学、经济学及生态学的应用中。

函数的线性化为线性函数。针对函数${\displaystyle y=f(x)}$，若要用在任意点${\displaystyle x=a}$下的值及其图形斜率来进行近似时，假设${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle }$（或${\displaystyle }$）区间内可微，且b邻近a，线性化是可以有效近似的方法。简单来说，线性化就是在${\displaystyle x=a}$点附近，以直线来近似函数的值。例如${\displaystyle \sqrt{4}=2}$，那么针对${\displaystyle \sqrt{4.001}=\sqrt{4+.001}}$，利用线性化就可能可以找到理想的近似公式。

针对任意函数${\displaystyle y=f(x)}$，${\displaystyle f(x)}$在已知可微分点附近的位置，都可以被近似。最基本的要求是${\displaystyle L_a(a)=f(a)}$，其中${\displaystyle L_a(x)}$是${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle x=a}$的线性化。一次方程的图形会形成直线，例如通过点${\displaystyle (H,K)}$，斜率为${\displaystyle M}$为直线。方程式的一般形为${\displaystyle y-<!--\; -\; -->K=M(x-<!--\; -\; -->H)}$。

若是配合点${\displaystyle (a,f(a))}$，${\displaystyle L_a(x)}$即变成${\displaystyle y=f(a)+M(x-<!--\; -\; -->a)}$。因为可微分函数是局部线性，该点的斜率可以用${\displaystyle f(x)}$在点${\displaystyle x=a}$切线的斜率来代替。

函数局部线性的意思也表示函数图形上的点可以任意接近点${\displaystyle x=a}$，相对来说比较接近的点，其线性近似的效果也会比较好。斜率${\displaystyle M}$最准确的值会是在${\displaystyle x=a}$点的切线斜率。

旁边的图可以说明${\displaystyle f(x)}$在点${\displaystyle x}$的切线。在${\displaystyle f(x+h)}$位置，其中${\displaystyle h}$是小的正值或是负值，${\displaystyle f(x+h)}$非常接近${\displaystyle (x+h,L(x+h))}$点的切线。

函数在点${\displaystyle x=a}$线性化的最终方程为：

${\displaystyle y=(f(a)+f^{\prime }(a)(x-<!--\; -\; -->a))}$

针对${\displaystyle x=a}$，${\displaystyle f(a)=f(x)}$。函数${\displaystyle f(x)}$的导数为${\displaystyle f^{\prime }(x)}$，而函数${\displaystyle f(x)}$在点${\displaystyle a}$的斜率为${\displaystyle f^{\prime }(a)}$。

若要找${\displaystyle \sqrt{4.001}}$，可以用${\displaystyle \sqrt{4}=2}$的资讯。函数${\displaystyle f(x)=\sqrt{x}}$在点${\displaystyle x=a}$的线性化为${\displaystyle y=\sqrt{a}+\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-<!--\; -\; -->a)}$，因为函数${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}}$定义了函数${\displaystyle f(x)=\sqrt{x}}$在点${\displaystyle x}$的斜率。

代入${\displaystyle a=4}$，其线性化结果为${\displaystyle y=2+\frac{x-<!--\; -\; -->4}{4}}$。

针对${\displaystyle x=4.001}$的例子，可得${\displaystyle \sqrt{4.001}}$近似${\displaystyle 2+\frac{4.001-<!--\; -\; -->4}{4}=2.00025}$。其实际值为2.00024998，非常接近，此线性化的误差小于1%的百万分之一。

函数${\displaystyle f(x,y)}$在点${\displaystyle p(a,b)}$线性化的方程式为：

${\displaystyle f(x,y)\approx <!--\; \approx \; -->f(a,b)+{\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(x,y)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}|}_{a,b}(x-<!--\; -\; -->a)+{\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(x,y)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}|}_{a,b}(y-<!--\; -\; -->b)}$

多变数函数${\displaystyle f(\mathbf{x})}$在点${\displaystyle \mathbf{p}}$线性化的通式为

${\displaystyle f(\mathbf{x})\approx <!--\; \approx \; -->f(\mathbf{p})+{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}f|}_{\mathbf{p}}\cdot <!--\; \cdot \; -->(\mathbf{x}-<!--\; -\; -->\mathbf{p})}$

其中${\displaystyle \mathbf{x}}$是变数向量，而${\displaystyle \mathbf{p}}$是要线性化的点。

配合线性化的技术，可以用研究线性系统的工具来分析非线性系统在特定点附近的行为。函数在特定点附近的线性化是在该点附近泰勒级数的一阶展开。针对以下的系统

其线性化系统为

其中${\displaystyle {\mathbf{x}}_{\mathbf{0}}}$是要观测的特定点，而${\displaystyle D\mathbf{F}({\mathbf{x}}_{\mathbf{0}})}$是${\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{x})}$在点${\displaystyle {\mathbf{x}}_{\mathbf{0}}}$所计算的雅可比矩阵。

在自治系统的稳定性分析中，可以用在双曲平衡点（英语：hyperbolic equilibrium point）计算雅可比矩阵的特征值来判断平衡点的特征。这就是线性化理论（英语：linearization theorem）的内容。若是时变系统，其线性化需要考量其他的因素。

在微观经济学中，决策规则（英语：decision rule）可以用状态空间下线性化的作法来近似。若以此方式分析，效用最大化的欧拉方程可以在平稳稳态附近进行线性化。所得动态方程的系统的唯一解即为其解。

在最优化中，成本函数以及非线性成分都可以线性化，以使用一些线性的求解方式（例如单纯形法）。最佳化的结果可以更有效率的产生，而且是决定性的全域极值。

在多物理场系统（系统中有多个不同物理领域的模型，彼此互相影响）中，可以针对每一个物理领域进行线性化。针对每一个物理领域的线性化可以产生线性的monolithic方程系统，可以用monolithic的迭代来求解（例如牛顿法）。这类的例子包括MRI scanner（英语：MRI scanner）系统，包括了电磁系统、力学系统及声学系统