赫尔-怀特模型

金融数学中、赫尔-怀特模型（英：Hull-White model）、是利率模型的一种。此模型中、为了把未来利率的变动变换成数学上较简洁的Lattice model，将利率当作百慕大选择权（选择权存续期间中设定复数个期间，在这些期间可以执行的选择权），以此便能将利率的变动价值以选择权模评价型来评价。

赫尔-怀特模型的原型是由约翰·赫尔（英语：John C. Hull）和艾伦·怀特（英语：Alan White (economist)） 在1990年发表的，此模型今日仍经常实际在市场上使用。

单一要素模型

此模型假设短期利率服从下面的随机微分方程式：

然而不论哪个变数都可以假定跟时间相关，因此依对各变数的假设，一般实务上作以下的区别：

双要素模型

双要素赫尔-怀特模型 （Hull 2006，pp.657–658） 假设利率的变动服从以下的随机过程:

方程中的${\displaystyle {\displaystyle u}}$ ，没有额外的干扰项${\displaystyle {\displaystyle u}}$ ＞ ()/）， 利率在服从此一随机微分方程下，对时间的漂移项变动量将会是负值；若目前的利率水准相当低，则漂移项的变动量将会为正。也就是说利率的随机过程将会服从平均奥恩斯坦-乌伦贝克过程。）

是由利率期间结构曲线计算而来，而 代表的是利率的变动朝着 收敛回归的速度，是由使用者自行设定的系数，一般由历史资料推估而来。是由市场上所存在可以交易的利率交换选择权（英语：swaption）跟利率上限选择权的波动校正项历史资料所计算得知。

当、 、为常数，依伊藤引理可以证明以下方程成立。

且服从正态分布：

现在时刻为 ，到期日为 的债券折现价格为：（需注意此模型具有仿射期限结构）

且

因此、(,) 的到期时价格、服从对数正态分布。

将到期日为S的债券作为基准财（英语：Numéraire），依格赛若夫定理（英语：Girsanov theorem）、时刻 时具有收益 () 在时刻 的价值 () 以下面的公式计算：

这边的${\displaystyle {\mathbb{E}}_S}$时的风险中立测度所计算的附条件几率期待值。并且依一般的风险中立理论，可得在时刻 时有收益 () 远期契约价格 ${\displaystyle F_V(t,T)}$(,)的各种衍生性金融商品 的价格。举例而言，债券卖权的价值为：

因为(,)服从对数正态分布，便可依照布莱克-休斯模型的方法进行一般化计算：

且

依此，将（(0,) 乘回去后，现在的価値是：

此处的 乃是关于 (,) 的对数正态分布的标准。这边进行复杂的代数计算后，便可得出下列公式并依此了解到跟此模型最基本变数的关系：

需要注意的是，价值的计算使用了依到期时刻 的债券的风险中立测度所计算的期待值，原本的赫尔・怀特过程并不指定特定的测度进行计算。但衍生性金融商品计算时攸关的问题是波动性的测量，因此影响不大。

因为利率上限选择权跟债券的卖权与买权等价，便可依此评价方法评价利率上限选择权。

借着Jamshidian's trick，利率交换选择权的价格的计算，便只是跟即期的短期利率相关的单调函数，因此此选择权的价格便可以赫尔-怀特模型计算。

然而利率上限选择权与利率交换选择权等较为单纯的金融商品，通常作为波动校正系数的测量。此模型真正的用处，是用来评价在树状图上表示方式相当复杂，如百慕大选择权这类的新奇选择权的评价。