可微函数

在微积分学中，可微函数是指那些在定义域中所有点都存在导数的函数。可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此，可微函数的图像是相对光滑的，没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。

一般来说，若₀是函数定义域上的一点，且′(₀)有定义，则称在₀点可微。这就是说的图像在(₀, (₀))点有非垂直切线，且该点不是间断点、尖点。

若在₀点可微，则在该点必连续。特别的，所有可微函数在其定义域内任一点必连续。逆命题则不成立：一个连续函数未必可微。比如，一个有折点、尖点或垂直切线的函数可能是连续的，但在异常点不可微。

实践中运用的函数大多在所有点可微，或几乎处处可微。但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数。这表示可微函数在连续函数中不具代表性。人们发现的第一个处处连续但处处不可微的函数是魏尔斯特拉斯函数。

函数是连续可微（continuously differentiable），如果导数存在且是连续函数。可微函数之导数不可能有跳跃不连续点，但可能有本性不连续点。例如考虑以下函数：

此函数在=0处可微，可照定义求出f'(0)：

但对≠0，

当趋近于0时，的极限并不存在。

连续可微函数被称作${\displaystyle C^1}$阶导数′(), ″(), ..., ()() 都存在且连续。如果对于所有正整数n，f(n)存在，这个函数被称为光滑函数或称${\displaystyle C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$1。(这是可微的一个充分不必要条件)

形式上，一个多元实值函数 f: R → R在点x₀处可微，如果存在线性映射J: R → R满足

注意，偏导数（甚至所有方向导数）都存在并不能保证函数在该点可微，考虑以下函数: R2 → R：

此函数在(0, 0)并不可微，但其所有偏导数及方向导数在该点皆存在。以下是一个连续的例子：

此函数在(0, 0)并不可微，但其所有偏导数及方向导数在该点皆存在。

在复分析中，任何在某点附近可微的复变函数被称为全纯函数，这类函数也将会是无限可微，甚至是解析函数。