不动点组合子

✍ dations ◷ 2025-07-01 08:59:52 #Lambda演算,不动点,组合子逻辑

不动点组合子(英语:Fixed-point combinator,或不动点算子)是计算其他函数的一个不动点的高阶函数。

函数 f 的不动点是将函数应用在输入值 x 时,会传回与输入值相同的值,使得 f(x) = x。例如,0 和 1 是函数 f(x) = x2 的不动点,因为 02 = 0 而 12 = 1。鉴于一阶函数(在简单值比如整数上的函数)的不动点是个一阶值,高阶函数 f 的不动点是另一个函数 g 使得 f(g) = g。那么,不动点算子 fix 的定义是

使得对于任何函数 f

不动点组合子它们可以用非递归的 lambda抽象来定义,在 lambda演算中的函数都是匿名的。然而在命令式编程语言中的递归,或许限制只能以呼叫函数名称作为参数来实作。在函数式编程语言中的不动点,以 lambda抽象来定义的Y组合子为:

则允许匿名函数足够逹成递归的作用,即递归函数。应用于带有一个变量的函数,Y组合子通常不会终止。将 Y组合子应用于二或更多个变量的函数,会获得更有趣的结果。第二个变量可当作计数器或索引。由此产生的函数行为,表现出如命令式语言中一个whilefor循环。

这个组合子也是 Curry悖论的核心,演示了无型别的 lambda演算是一个不稳固的推论系统,因由 Y组合子允许一个匿名表达式来表示零或者甚至许多值,这在数理逻辑上是不一致的。

在无类型lambda演算中众所周知的(可能是最简单的)不动点组合子叫做Y组合子。它是Haskell B. Curry发现的,定义为

注意Y组合子意图用于传名求值策略,因为 (Y g)在传值设置下会发散(对于任何g)。

在数学的特定形式化中,比如无类型lambda演算和组合演算中,所有表达式都被当作高阶函数。在这些形式化中,不动点组合子的存在性意味着“所有函数都至少有一个不动点”,函数可以有多于一个不同的不动点。

在其他系统中,比如简单类型lambda演算,不能写出有良好类型(well-typed)的不动点组合子。在这些系统中对递归的任何支持都必须明确的增加到语言中。带有扩展的递归类型的简单类型lambda演算,可以写出不动点算子,“有用的”不动点算子(它的应用总是会返回)的类型将是有限制的。

例如,在Standard ML中Y组合子的传值调用变体有类型∀a.∀b.((a→b)→(a→b))→(a→b),而传名调用变体有类型∀a.(a→a)→a。传名调用(正则序)变体在应用于传值调用的语言的时候将永远循环下去 -- 所有应用Y(f)展开为f(Y(f))。按传值调用语言的要求,到f的参数将接着展开,生成f(f(Y(f)))。这个过程永远重复下去(直到系统耗尽内存),而不会实际上求值f的主体。

考虑阶乘函数(使用邱奇数)。平常的递归数学等式

可以用lambda演算把这个递归的一个“单一步骤”表达为

这里的"f"是给阶乘函数的占位参数,用于传递给自身。函数F进行求值递归公式中的一个单一步骤。应用fix算子得到

Y组合子的可以在传值调用的应用序求值中使用的变体,由普通Y组合子的部分的η-展开给出:

Y组合子用SKI-演算表达为

另一个常见不动点组合子是图灵不动点组合子(阿兰·图灵发现的):

相关

  • 痕量痕量同位素是微量的自然放射性同位素。由于原始核素往往大于微量,可以推论相对于地球的年龄而言,痕量同位素的半衰期一般比较短。微量放射性同位素的存在,原因在于他们在地球上
  • 人口自然增长率国家列表本列表列出世界各国目前的人口自然增长率情况。 人口年增长率在4%的国家,只需要18年(1.04^18=2.0258)就能人口翻倍。而人口增长率为1%的国家,需要70年(1.01^70=2.0067)才能人
  • 岭南杂记《岭南杂记》共两卷(大学士英廉家藏本),为记岭南风土的杂着。作者吴震方,字青坛,浙江石门(今桐乡市)人,年不详。著有《读书正音》四卷、《晚树楼诗稿》四卷、《朱子论定文钞》二十卷
  • 信实通信信实通信(Reliance Communications, BSE: 532712),信实工业一部分,原名“信实信息通信”(Reliance Infocomm)与信实电信(Reliance Telecom)及Flag Telecom,都是信实通信投资(Reliance C
  • 汉斯·沙龙汉斯·沙龙(德语:Hans Bernhard Scharoun,1893年9月20日-1972年11月25日),生于不来梅,逝世于柏林。德国建筑师,为有机建筑最具代表性人物。
  • 加长轿车加长轿车通常指加长的豪华轿车,早先主要是白色或黑色的(现在也有粉红色或蓝色的)。通常配备专职司机,代表着主人的显赫。有些加长轿车为个人所有,但较多是属于政府,用来运送政治人
  • 动画服饰设计一套动画的服饰设计的工作主要是为动画角色设计衣服和饰物。负责此职位的工作人员称为服饰设计师。多数动画的服饰设计会兼职人物设计师。服饰设计师负责绘画的衣饰包括:内衣
  • 布丽姬·穆娜布丽姬·穆纳罕(英语:Bridget Moynahan,1971年4月28日-)出生于美国纽约州宾厄姆顿,美国模特儿和演员。穆纳罕出生于纽约州宾厄姆顿。她母亲有着爱尔兰血统,名叫“玛丽·布丽姬”。
  • 软橡皮软橡皮(英语:Kneaded eraser)是橡皮擦的一种,与硬橡皮相对。软橡皮的质地较软,与油灰类似,在素描中可以用于修改错误或调节线条的明暗调。使用软橡皮的方法是撕下少量橡皮后轻压纸
  • 申祐申祐(1403年-1449年),字䒶锡,贵州思南府婺川县人,官籍。明朝官员、进士出身。申祐父被虎吃,申祐持梃奋击,幸免于难。乡试中举后,入学国子监,参与率领诸生救国子监祭酒李时勉。正统十年