结合代数

在数学里，结合代数是指一向量空间(或更一般地，一模)，其允许向量有具分配律和结合律的乘法。因此，它为一特殊的代数。结合代数，是一种代数系统，类似于群、环、域，而更接近于环。仿照由实数来构造复数的方法，可用复数来构造新的数。

一于体上的结合代数的定义为一于上的向量空间，其-双线性映射 × → 具有结合律：

此乘法的双线性性质可表示成

当含有单位元，即元素1使得对任一于内的，1 = 1 = ，则称为或单作结合代数。此一代数为一个环，且包含所以体内的元素，由1相连接。

上述的定义没有任何改变地广义化成了于可交换环上的代数(除了-线性空间被称做模而非向量空间之外)。详述请见代数 (环论)。

于一体上的结合代数的为其-向量空间的维度。

若和为体上的结合代数， : → 则是一-线性映射，其对任何于内的、，会有() = () ()的关系。加上态射的概念，于上的结合代数组成的类便成了一范畴。

举个例子，设为所有实值连续函数R → R所组成的代数，及=R，这两者都是于R上的代数，且其每一连续函数指定至数字(0)的映射会是个由至的代数同态。

前面所述之结合代数的定义，其结合律的定义是对的所有元素而定的。但有时不涉及内元素的结合律定义会较方便。这可以由下列方法作到。一定义成在一向量空间内映射的代数：

其为结合代数当有下面性质：

其中，符号${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$内的，${\displaystyle Id(x)=x}$内的元素映射至内的元素，这里是的单位元。映射只是个标量乘积：${\displaystyle s:K\times <!--\; \times \; -->A\to <!--\; \to \; -->A}$。