结合代数

✍ dations ◷ 2025-04-03 17:00:53 #抽象代数

在数学里,结合代数是指一向量空间(或更一般地,一模),其允许向量有具分配律和结合律的乘法。因此,它为一特殊的代数。结合代数,是一种代数系统,类似于群、环、域,而更接近于环。仿照由实数来构造复数的方法,可用复数来构造新的数。

一于体上的结合代数的定义为一于上的向量空间,其-双线性映射 × → 具有结合律:

此乘法的双线性性质可表示成

当含有单位元,即元素1使得对任一于内的,1 = 1 = ,则称为或单作结合代数。此一代数为一个环,且包含所以体内的元素,由1相连接。

上述的定义没有任何改变地广义化成了于可交换环上的代数(除了-线性空间被称做模而非向量空间之外)。详述请见代数 (环论)。

于一体上的结合代数的为其-向量空间的维度。

若和为体上的结合代数, : → 则是一-线性映射,其对任何于内的、,会有() = () ()的关系。加上态射的概念,于上的结合代数组成的类便成了一范畴。

举个例子,设为所有实值连续函数R → R所组成的代数,及=R,这两者都是于R上的代数,且其每一连续函数指定至数字(0)的映射会是个由至的代数同态。

前面所述之结合代数的定义,其结合律的定义是对的所有元素而定的。但有时不涉及内元素的结合律定义会较方便。这可以由下列方法作到。一定义成在一向量空间内映射的代数:

其为结合代数当有下面性质:

其中,符号 {\displaystyle \circ } 内的, I d ( x ) = x {\displaystyle Id(x)=x} 内的元素映射至内的元素,这里是的单位元。映射只是个标量乘积: s : K × A A {\displaystyle s:K\times A\rightarrow A}

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