庞加莱-本迪克松定理

✍ dations ◷ 2025-04-03 13:03:21 #动力系统,混沌理论,微分方程,数学定理

在数学中,庞加莱-本迪克松定理是一个关于二维平面上的连续动力系统的轨道的变化趋势的定理。

庞加莱-本迪克松定理说明了:如果在二维的平面上的连续动力系统的某一个解的轨道被限制在一个紧区域内,那么在时间足够长之后,这个轨道要么逼近某一个奇点,要么逼近某一个周期轨道(极限环)。因此,一维或者二维平面上的连续动力系统是不可能出现混沌现象的。混沌现象只可能出现在三维或以上维数空间上的连续动力系统中。但是要注意的是:庞加莱-本迪克松定理对离散动力系统不适用,也就是说混沌现象有可能在二维甚至一维的离散动力系统中发生(事实上的确如此)。

这个定理最早由庞加莱提出,但最初的版本比现在要弱,而且庞加莱本人并没有给出一个完整的证明。本迪克松给出了现在的定理和完整的证明。

给定一个在二维平面上的单连通开集上定义的可微实值动力系统,则任意轨道的非空紧α-极限集合(或ω-极限集合),如果不包含奇点的话,都是周期轨道。

动力系统定义在二维平面上的条件是必须的。在环面上,非周期的递归轨道是可能存在的。

在下文中,Ω表示 R2 中的一个开集, 是一个定义在 Ω 上的向量场,其值域在 R2 中,并且连续可微。自治微分方程 定义如下:

设函数 () 是一个定义在 R 的关于方程 的最大解。所谓的最大解,是指函数 定义在一个区间 上,并且没有任何其它定义在区间 上的函数 ,使得区间 严格包含 , 与 在 上重合,并且 也是 的解(关于最大解的存在性和唯一性,参见柯西-利普希茨定理)。

如果 的值域是在 Ω 上的一个紧集 上,那么或者它的值趋于一个极限,也就是说轨道趋于一个点(称为奇点);或者它的轨道逼近于一个周期函数的轨道(这个轨道称为极限环)。

庞加莱-本迪克松定理的一个重要推论是二维平面上的动力系统不能产生奇异吸引子,如果系统内存在一个奇异吸引子,那么它可以在相空间内被一个有界封闭的区域包住。当这个包围的区域足够小的时候,区域里面将不会有任何稳定点。但根据庞加莱-本迪克松定理,这个区域里的 C 将不会是一个奇异吸引子,因为它要么是一个极限环,要么逼近于一个极限环。

相关

  • 投手投手(英语:Pitcher,通常简写成P)是棒球或垒球比赛中,防守方负责投球供进攻方打击手打击的球员,通常被视为主宰比赛胜负的灵魂人物。只要不违反规则,投手可采用任何一种姿势来作投球
  • 托莱多翻译院托莱多翻译院(西班牙语:Escuela de Traductores de Toledo)由12世纪到13世纪在西班牙托莱多共同从事翻译工作的学者组成,他们翻译了大量古典阿拉伯语的哲学和科学著作。该学院历
  • 古里·马尔丘克古里·伊万诺维奇·马尔丘克(俄语:Гурий Иванович Марчук,1925年6月8日-2013年3月24日),前苏联及俄罗斯科学家,研究领域涵盖数学、计算机、大气物理学。1968年,
  • 铬酸铬酸,化学式为H2CrO4,是三氧化铬溶于硫酸以及铬酸盐/重铬酸盐酸化时生成的化合物之一。重铬酸是二分子铬酸脱水形成的多酸,化学式为H2Cr2O7。三氧化铬是铬酸的酸酐,室温下为橘红
  • hyponatremia低血钠症(英语:Hyponatremia)是人体内血液中的钠含量过低时,所引起的临床病征。低血钠定义为血中钠离子浓度低于135 mmol/L(135 mEq/L),若低于120 mEql/L,则为重度低血钠症。在临床
  • 弗拉基米尔·布科夫斯基弗拉基米尔·康斯坦丁诺维奇·布科夫斯基(俄语:Владимир Константинович Буковский,1942年12月30日-2019年10月27日),俄裔英国人权活动家、作家。
  • 翁通爪哇高原翁通爪哇高原是太平洋的海底高原,位于所罗门群岛以北,面积约200万平方公里,与阿拉斯加相若,厚度达30公里,大部分岩体在1.2亿年前形成。坐标:3°03′S 160°23′E / 3.050°S 160.3
  • 格拉·佐尔坦格拉·佐尔坦(匈牙利语:Zoltán Gera,1979年4月22日-)是一名匈牙利足球运动员,主要司职前腰,但在职业生涯中亦曾出任左、右两翼。他以擅于倒挂进球及后空翻庆祝进球动作而广为人识
  • 萨尔娜迦族萨尔娜迦族族(Xel'Naga)是电脑游戏星海争霸的虚拟宇宙中一个古老的高级文明。萨尔娜迦族创造了无数的种族,包括星灵和异虫。最后在泽瑞斯行星被异虫毁灭。在未知的时刻,萨尔那加
  • 拉什达·琼斯拉什达·琼斯 ( /rəˈʃiːdə/ ; 出生于1976年2月25日) 是美国女演员、导演、作家和制片人。 琼斯出生于加利福尼亚州的洛杉矶,她的父母分别是Quincy Jones和Peggy Lipton