双曲正割

✍ dations ◷ 2025-08-02 00:41:41 #双曲正割
在数学中,双曲函数是一类与常见的三角函数(也叫圆函数)类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数 sinh {displaystyle sinh } 和双曲余弦函数 cosh {displaystyle cosh } ,从它们可以导出双曲正切函数 tanh {displaystyle tanh } 等,其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。双曲函数的定义域是实数,其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中,譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。函数 cosh ⁡ x {displaystyle cosh x!} 是关于y轴对称的偶函数。函数 sinh ⁡ x {displaystyle sinh x!} 是奇函数。如同当 t {displaystyle t} 遍历实数集 R {displaystyle mathbb {R} } 时,点( cos ⁡ t {displaystyle cos t!} , sin ⁡ t {displaystyle sin t!} )的轨迹是一个圆 x 2 + y 2 = 1 {displaystyle x^{2}+y^{2}=1} 一样,当 t {displaystyle t} 遍历实数集 R {displaystyle mathbb {R} } 时,点( cosh ⁡ t {displaystyle cosh t!} , sinh ⁡ t {displaystyle sinh t!} )的轨迹是单位双曲线(英语:Unit hyperbola) x 2 − y 2 = 1 {displaystyle x^{2}-y^{2}=1} 的右半边。这是因为有以下的恒等式:参数t不是圆角而是双曲角,它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点( cosh ⁡ t {displaystyle cosh t!} , sinh ⁡ t {displaystyle sinh t!} )的直线之间的面积的两倍。在18世纪,约翰·海因里希·兰伯特引入双曲函数,并计算了双曲几何中双曲三角形的面积。自然对数函数是在直角双曲线 x y = 1 {displaystyle xy=1} 下定义的,可构造双曲线直角三角形,底边在线 y = x {displaystyle y=x} 上,一个顶点是原点,另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数,是自然对数的逆函数指数函数,即要形成指定双曲角u,在渐近线即x或y轴上需要有的x或y的值。显见这里的底边是 ( e u + e − u ) 2 2 {displaystyle left(e^{u}+e^{-u}right){frac {sqrt {2}}{2}}} ,垂线是 ( e u − e − u ) 2 2 {displaystyle left(e^{u}-e^{-u}right){frac {sqrt {2}}{2}}} 。通过旋转和缩小线性变换,得到单位双曲线下的情况,有:单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线 x y = 1 {displaystyle xy=1} 下双曲角的 1/2。双曲角经常定义得如同虚数圆角。实际上,如果x是实数而i2 = −1,则所以双曲函数cosh和sinh可以通过圆函数来定义。这些恒等式不是从圆或旋转得来的,它们应当以无穷级数的方式来理解。特别是,可以将指数函数表达为由偶次项和奇次项组成,前者形成cosh函数,后者形成了sinh函数。cos函数的无穷级数可从cosh得出,通过把它变为交错级数,而sin函数可来自将sinh变为交错级数。上面的恒等式使用虚数i,从三角函数的级数的项中去掉交错因子(−1)n,来恢复为指数函数的那两部分级数。双曲函数可以通过虚数圆角定义为:这些复数形式的定义得出自欧拉公式。奥古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科书《Trigonometry and Double Algebra》中将圆三角学扩展到了双曲线。威廉·金顿·克利福德在1878年使用双曲角来参数化单位双曲线。给定相同的角α,在双曲线上计算双曲角的量值(双曲扇形面积除以半径)得到双曲函数,角α得到三角函数。在单位圆和单位双曲线上,双曲函数与三角函数有如下的关系:与双曲函数有关的恒等式如下:由于双曲函数和三角函数之间的对应关系,双曲函数的恒等式和三角函数的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式,只需要将其中的三角函数转成相应的双曲函数,并将含有有两个sinh的积的项(包括 coth 2 ⁡ x , tanh 2 ⁡ x , csch 2 ⁡ x , sinh ⁡ x sinh ⁡ y {displaystyle coth ^{2}x,tanh ^{2}x,operatorname {csch} ^{2}x,sinh xsinh y} )转换正负号,就可得到相应的双曲函数恒等式。如双曲函数也可以以泰勒级数展开:其中从双曲正弦和余弦的定义,可以得出如下恒等式:和因为指数函数可以定义为任何复数参数,也可以扩展双曲函数的定义为复数参数。函数sinh z和cosh z是全纯函数。指数函数与三角函数的关系由欧拉公式给出:所以:因此,双曲函数是关于虚部有周期的,周期为 2 π i {displaystyle 2pi i} (对双曲正切和余切是 π i {displaystyle pi i} ).反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为:正弦 · 余弦 · 正切 · 余切 · 正割 · 余割反正弦 · 反余弦 · 反正切 · 反余切 · 反正割‎ · 反余割正矢 · 余矢 · cis函数 · 余cis函数 · 半正矢 · 半余矢 · 外正割 · 外余割 · atan2 · 古德曼函数正弦定理 · 余弦定理 · 正切定理 · 余切定理 · 勾股定理三角函数恒等式 · 三角函数精确值 · 三角函数积分表 · 三角函数表 · 双曲三角函数 · 双曲三角函数恒等式

相关

  • 洛杉矶分校粉蓝色和金色加利福尼亚大学洛杉矶分校(英语:University of California, Los Angeles),简称加州大学洛杉矶分校(UCLA),是一所位于美国加利福尼亚州洛杉矶的公立研究型大学,创办于191
  • 松二糖松二糖(Turanose)是一种还原性二糖。自然界中的松二糖基本都是D构型的。其系统名为“α-D-吡喃葡萄糖-(1→3)-α-D-吡喃果糖”。松二糖除了与植物的信号转导有关外,还可被一些
  • 家族家族指基于血缘、婚姻、生命共同体构成的利益集团,通常表现为以一个家庭为主构成的中心,如东亚社会的财团,多以一个家庭为背景所形成的企业集团;有时帮派内的不同派系也以家族称
  • 二甲炔酮二甲炔酮,也译作地美炔酮(英语:Dimethisterone,商品名:Lutagan 或 Secrosteron等)是一种黄体制剂药物,过去被用于治疗一些妇科疾病以及作为避孕药,但现在已不再使用。
  • 疣微菌科疣微菌门(Verrucomicrobia)是一门被划出不久的细菌,包括少数几个被识别的种类,主要被发现于水生和土壤环境,或者人类粪便中。还有很多未被成功培养的种类是和真核宿主共生的,包括
  • 闪燃可燃物表面挥发出的可燃气体与空气混合后遇火发生一闪即灭的现象,叫做闪燃。闪燃现象一般发生在一个起了火的密闭空间,是一个小火发展成大火的必经过程。因为现场积聚大量可燃
  • 高通CDMA芯片 BREW Eudora OmniTRACS MediaFLOSnapdragon处理器高通公司(英语:Qualcomm,NASDAQ:QCOM)是一个位于美国加州圣地亚哥的无线电通信技术研发公司,由加州大学圣地亚哥分校教
  • 1695年重要事件及趋势重要人物
  • “成仁”、“取义”仁义是仁和义的合称。由于儒家圣人孔子和“亚圣”孟子分别提倡仁和义,因此两者经常并称,成为中国读书人最主要价值观。例如孟子:“由仁义行,非行仁义”;文天祥:“孔曰成仁,孟曰取义
  • 氯化氨基汞氯化氨基汞是一种无机化合物,化学式为HgNH2Cl。它由折线型的链状聚合物(HgNH2)n和起着平衡电荷作用的氯离子构成。它可以由氨与氯化汞反应制得。此外氨还能将它转化成米隆碱(M