双曲正割

在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数 sinh {displaystyle sinh } 和双曲余弦函数 cosh {displaystyle cosh } ，从它们可以导出双曲正切函数 tanh {displaystyle tanh } 等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。函数 cosh ⁡ x {displaystyle cosh x!} 是关于y轴对称的偶函数。函数 sinh ⁡ x {displaystyle sinh x!} 是奇函数。如同当 t {displaystyle t} 遍历实数集 R {displaystyle mathbb {R} } 时，点（ cos ⁡ t {displaystyle cos t!} , sin ⁡ t {displaystyle sin t!} ）的轨迹是一个圆 x 2 + y 2 = 1 {displaystyle x^{2}+y^{2}=1} 一样，当 t {displaystyle t} 遍历实数集 R {displaystyle mathbb {R} } 时，点（ cosh ⁡ t {displaystyle cosh t!} , sinh ⁡ t {displaystyle sinh t!} ）的轨迹是单位双曲线（英语：Unit hyperbola） x 2 − y 2 = 1 {displaystyle x^{2}-y^{2}=1} 的右半边。这是因为有以下的恒等式：参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点（ cosh ⁡ t {displaystyle cosh t!} , sinh ⁡ t {displaystyle sinh t!} ）的直线之间的面积的两倍。在18世纪，约翰·海因里希·兰伯特引入双曲函数，并计算了双曲几何中双曲三角形的面积。自然对数函数是在直角双曲线 x y = 1 {displaystyle xy=1} 下定义的，可构造双曲线直角三角形，底边在线 y = x {displaystyle y=x} 上，一个顶点是原点，另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数，是自然对数的逆函数指数函数，即要形成指定双曲角u，在渐近线即x或y轴上需要有的x或y的值。显见这里的底边是 ( e u + e − u ) 2 2 {displaystyle left(e^{u}+e^{-u}right){frac {sqrt {2}}{2}}} ，垂线是 ( e u − e − u ) 2 2 {displaystyle left(e^{u}-e^{-u}right){frac {sqrt {2}}{2}}} 。通过旋转和缩小线性变换，得到单位双曲线下的情况，有：单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线 x y = 1 {displaystyle xy=1} 下双曲角的 1/2。双曲角经常定义得如同虚数圆角。实际上，如果x是实数而i2 = −1，则所以双曲函数cosh和sinh可以通过圆函数来定义。这些恒等式不是从圆或旋转得来的，它们应当以无穷级数的方式来理解。特别是，可以将指数函数表达为由偶次项和奇次项组成，前者形成cosh函数，后者形成了sinh函数。cos函数的无穷级数可从cosh得出，通过把它变为交错级数，而sin函数可来自将sinh变为交错级数。上面的恒等式使用虚数i，从三角函数的级数的项中去掉交错因子(−1)n，来恢复为指数函数的那两部分级数。双曲函数可以通过虚数圆角定义为：这些复数形式的定义得出自欧拉公式。奥古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科书《Trigonometry and Double Algebra》中将圆三角学扩展到了双曲线。威廉·金顿·克利福德在1878年使用双曲角来参数化单位双曲线。给定相同的角α，在双曲线上计算双曲角的量值（双曲扇形面积除以半径）得到双曲函数，角α得到三角函数。在单位圆和单位双曲线上，双曲函数与三角函数有如下的关系:与双曲函数有关的恒等式如下:由于双曲函数和三角函数之间的对应关系，双曲函数的恒等式和三角函数的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要将其中的三角函数转成相应的双曲函数，并将含有有两个sinh的积的项（包括 coth 2 ⁡ x , tanh 2 ⁡ x , csch 2 ⁡ x , sinh ⁡ x sinh ⁡ y {displaystyle coth ^{2}x,tanh ^{2}x,operatorname {csch} ^{2}x,sinh xsinh y} ）转换正负号，就可得到相应的双曲函数恒等式。如双曲函数也可以以泰勒级数展开:其中从双曲正弦和余弦的定义，可以得出如下恒等式:和因为指数函数可以定义为任何复数参数，也可以扩展双曲函数的定义为复数参数。函数sinh z和cosh z是全纯函数。指数函数与三角函数的关系由欧拉公式给出：所以:因此，双曲函数是关于虚部有周期的，周期为 2 π i {displaystyle 2pi i} (对双曲正切和余切是 π i {displaystyle pi i} ).反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为：正弦 · 余弦 · 正切 · 余切 · 正割 · 余割反正弦 · 反余弦 · 反正切 · 反余切 · 反正割‎ · 反余割正矢 · 余矢 · cis函数 · 余cis函数 · 半正矢 · 半余矢 · 外正割 · 外余割 · atan2 · 古德曼函数正弦定理 · 余弦定理 · 正切定理 · 余切定理 · 勾股定理三角函数恒等式 · 三角函数精确值 · 三角函数积分表 · 三角函数表 · 双曲三角函数 · 双曲三角函数恒等式