旋量群

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G₂ F₄E₆ E₇E₈
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

数学中，旋量群 Spin() 是特殊正交群 SO() 的二重覆叠，使得存在李群的短正合列：

对 > 2， Spin() 单连通，从而是 SO() 的万有覆叠空间。作为李群 Spin() 及其李代数和特殊正交群 SO() 有相同的维数 ( − 1)/2。

Spin() 可以构造为克利福德代数 ℓ() 可逆元群的一个子群。Spin() 由所有写成个偶数个单位向量的克利福德乘积的元素生成。对应到 SO() 中恰是沿着垂直于这偶数个向量的超平面的反射的复合。

当维数比较低时，典型李群之间存在同构，称为“巧合同构”。例如，低维旋量群和一定的典型李群同构，这是因为不同的低维单李代数的根系之间存在同构。特别的我们有：

对 = 7，8 仍然有退化的同构，细节可参见 Spin(8)；对更高的维数，这样的同构完全消失。

对于不定符号，旋量群 Spin(p,q) 通过克利福德代数用类似于标准旋量群的方式构造，由能写成偶数个模+1和偶数个模-1单位向量的克利福德乘积的元素生成。它是一个 SO₀(,)（不定正交群 SO(,) 含单位元连通分支）的连通二重复叠。Spin(,) 的连通性不同作者有不同的约定，此文中取 +>2 时连通。不定符号低维时，也有一些巧合同构：

注意有 Spin(,) = Spin(,)。

连通且单连通的李群由它们的李代数决定。所以，如果 是具有单李代数的连通李群，′ 是 的万有覆叠，有包含：

这里 (′) 是 的中心。这个包含映射和 的李代数 ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ （注意 ${\displaystyle \mathfrak{g}}$，例如 SL(2,R) 和 PSL(2,R) 有相同的李代数和基本群 ${\displaystyle \mathbb{Z}}$) 对 > 2 都是单连通的，所以它们是 SO() 的万有覆叠。不定符号时，Spin(,) 的极大紧子群是

这样我们就可计算出 Spin(,) 的基本群：

对 ${\displaystyle p,q>2}$=2，>2，映射由 ${\displaystyle 1\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}\to <!--\; \to \; -->(1,1)\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}\times <!--\; \times \; -->{\mathbb{Z}}_2}$ = = 2， ${\displaystyle (1,0)\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}\times <!--\; \times \; -->\mathbb{Z}}$ 映到 ${\displaystyle (1,1)\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}\times <!--\; \times \; -->\mathbb{Z}}$ 而 ${\displaystyle (0,1)}$ 映到 ${\displaystyle (1,-<!--\; -\; -->1)}$ 。