完美长方体

✍ dations ◷ 2025-04-26 12:47:57 #数学中未解决的问题,丢番图方程,多面体

完美长方体,又称完美盒,指棱长、面对角线和体对角线都是整数的长方体。

求完美长方体的棱长,即求下列方程组:

注:a、b、c是棱长,d、e、f是面对角线长,g是体对角线长。

它相当于在欧拉长方体问题上再添上了最后的这个条件。

截至2015年5月,还没有找到任何完美长方体,亦未有人证明完美长方体不存在。经由电脑搜寻显示,若存在完美长方体,其中一个边长需大于3·1012,且最小边长需大于1010。现时只找到一些接近完美盒,例如其中一边是无理数,其他边和对角线均为整数的例子,如:棱长分别为672、153与104,其面对角线分别为 3 52777 {\displaystyle 3{\sqrt {52777}}} 、680与185,体对角线为697。

另外,亦有面、体对角线均为整数,但棱长只有两个是整数,另一条是无理数的例子。如:

棱长为18720、 211773121 {\displaystyle {\sqrt {211773121}}} 与7800这个例子。

一个完美平行六面体为边长、面对角线长及体对角线长皆为整数的平行六面体。平行六面体的角度不需要是整数,故完美长方体可视为完美平行六面体的特例。在2009年发现了数十个完美平行六面体的例子。

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