完美长方体

✍ dations ◷ 2025-12-11 13:19:07 #数学中未解决的问题,丢番图方程,多面体

完美长方体，又称完美盒，指棱长、面对角线和体对角线都是整数的长方体。

求完美长方体的棱长，即求下列方程组：

注：a、b、c是棱长，d、e、f是面对角线长，g是体对角线长。

它相当于在欧拉长方体问题上再添上了最后的这个条件。

截至2015年5月，还没有找到任何完美长方体，亦未有人证明完美长方体不存在。经由电脑搜寻显示，若存在完美长方体，其中一个边长需大于3·1012，且最小边长需大于1010。现时只找到一些接近完美盒，例如其中一边是无理数，其他边和对角线均为整数的例子，如：棱长分别为672、153与104，其面对角线分别为 $3{\sqrt {52777}}$ $3{\sqrt {52777}}$ 、680与185，体对角线为697。

另外，亦有面、体对角线均为整数，但棱长只有两个是整数，另一条是无理数的例子。如：

棱长为18720、 ${\sqrt {211773121}}$ ${\sqrt {211773121}}$ 与7800这个例子。

一个完美平行六面体为边长、面对角线长及体对角线长皆为整数的平行六面体。平行六面体的角度不需要是整数，故完美长方体可视为完美平行六面体的特例。在2009年发现了数十个完美平行六面体的例子。

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