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共轭闭包

✍ dations ◷ 2025-12-11 14:20:31 #代数小作品,群论

在群论中，群的子集的共轭闭包是生成自的的子群，即在群运算下的闭包，这里的是元素的共轭的集合：

的共轭闭包记为 <> 或 <>。

的共轭闭包总是的正规子群；事实上，它是包含的最小的的正规子群。为此，共轭闭包也叫做的正规闭包或者生成的正规子群。正规闭包也可以刻画为包含的所有的正规子群的交集。如果已经是正规子群则它等于它的正规闭包。

如果 $=\varnothing$ 的正规闭包是平凡群。如果 = {} 由一个元素构成，则共轭闭包是和共轭于的所有的元素生成正规子群。所以，如果是单群，是的任何非单位元元素的共轭闭包。

对比于带有的正规化子的的正规闭包，它是其中 <> 自身为正规的“最大”的的子群。（在更大的群中不必须是正规的，就像 <> 在它的共轭/正规闭包中不必须是正规的一样。）

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