默慈金数

✍ dations ◷ 2025-02-23 12:33:02 #整数数列

在数学中，一个给定的数n的默慈金数是“在一个圆上的n个点间，画出彼此不相交的弦的全部方法的总数”。默慈金数在几何、组合数学和数论等领域中皆有其用途。它以递归的方法给出的定义如下：

默慈金数也可以表示为

$M_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{n+2-k}}*{\binom {n}{k}}*{\binom {2n+2-2k}{n+1-k}}$ $M_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{n+2-k}}*{\binom {n}{k}}*{\binom {2n+2-2k}{n+1-k}}$

最初的几个默慈金数如下（OEIS中的数列A001006）：

1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829

下图显示了“在一个圆上的4个点间，画出彼此不相交的弦的所有9种方法”：

下图显示了“在一个圆上的5个点间，画出彼此不相交的弦的所有21种方法”：

“默慈金质数”是同时为质数的默慈金数，直至2007年10月止，共有四个已知的“默慈金质数”，它们分别如下（OEIS中的数列A092832）：

2, 127, 15511, 953467954114363

默慈金数亦出现在别的地方，像例如在一个“网格”上，若限定“每步只能向右移动一格（可以向右上、右下横向向右），并禁止移动到y=0以下的地方”，则以这种走法用n步从（0,0）移动至（n,0）的可能形成的路径的总数为n的默慈金数。

以下为例，下例显现了从（0,0）至（4,0）照上述的走法中，九种可行的路径：

根据Donaghey & Shapiro (1977)对默慈金数的调查，在数学的各分支中，默慈金数至少有十四个彼此不同的展现存在；Guibert，Pergola & Pinzani (2001)指出旗手轮换（Vexillary permutation）和默慈金数相关。

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