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峰度

✍ dations ◷ 2025-12-08 00:18:27 #概率论

在统计学中，峰度（Kurtosis）衡量实数随机变量概率分布的峰态。峰度高就意味着方差增大是由低频度的大于或小于平均值的极端差值引起的。

四阶标准矩可以定义为：

其中μ₄是四阶中心矩，σ是标准差。

在更通常的情况下，峰度被定义为四阶累积量除以二阶累积量的平方，它等于四阶中心矩除以概率分布方差的平方再减去3：

这也被称为超值峰度（excess kurtosis）。“减3”是为了让正态分布的峰度为0。

假定为个独立变量之和，且这些变量和具有相同的分布，那么：Kurt = Kurt / ，但如果峰度被定义为：μ₄ / σ4，公式可变得更加复杂。

更一般地说，假定₁, ..., 为方差相等的独立随机变量，那么：

而定义中如果不包含“减3”就无法成立。

如果超值峰度为正，称为尖峰态（leptokurtic）。如果超值峰度为负，称为低峰态（platykurtic）。

对于具有个值的样本，样本峰度为：

其中₄是四阶样本中心矩，₂是二阶中心矩（即使样本方差），是第th个值， ${\overline {x}}$ 为事先计算的方差，x_i为第i个测量值， ${\bar {x}}$ $\bar{x}$ 为事先计算的算术平均数。

在一些统计软件中，其公式有所差别。如EXCEL，计算样本的峰度公式如下：

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