超极限

数学上，超极限是几何的构造法，对一个度量空间序列指定一个度量空间为其极限。超极限推广了度量空间的格罗莫夫－豪斯多夫收敛。

在自然数集${\displaystyle \mathbb{N}}$，是一个有限可加的集合函数（可视为有限可加测度）${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}:2^{\mathbb{N}}\to <!--\; \to \; -->\{0,1\}}$ 称为非主要的，若对所有有限子集${\displaystyle F\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{N}}$()=0。

设是${\displaystyle \mathbb{N}}$,)上的点序列，∈ ，称是的 -极限，记为${\displaystyle x=\underset{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{lim}{x}_n}$,)紧致，则每个点序列都存在-极限。故此，实数的有界序列都存在-极限。

设是在${\displaystyle \mathbb{N}}$,) 是度量空间，有基点∈。

考虑序列${\displaystyle (x_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}}$∈。这个序列称为容许的，若实数序列((,))有界，也就是存在正实数，使得${\displaystyle d_n(x_n,p_n)\le <!--\; \le \; -->C}$(,))有界，因此存在-极限${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{d}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(\mathbf{x},\mathbf{y}):=\underset{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{lim}{d}_n(x_n,y_n)}$,, )关于的超极限是一个度量空间${\displaystyle (X_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}},d_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}})}$，定义如下。

作为集合，有${\displaystyle X_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}=\mathcal{A}/\sim <!--\; \sim \; -->}$。

对两个容许序列${\displaystyle \mathbf{x}=(x_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}}$及${\displaystyle \mathbf{y}=(y_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}}$的${\displaystyle \sim <!--\; \sim \; -->}$等价类${\displaystyle ,}$，定义${\displaystyle d_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(,):={\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{d}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(\mathbf{x},\mathbf{y})=\underset{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{lim}{d}_n(x_n,y_n).}$

不难看到${\displaystyle d_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$有良好定义，且为 ${\displaystyle X_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$上的度量。

记${\displaystyle (X_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}},d_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}})=\underset{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{lim}(X_n,d_n,p_n)}$。